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一、什么是内生性？

内生性问题是解释变量与扰动项相关导致的，具体的表现形式有遗漏变量、双向因果和测量误差。

• 遗漏变量
  遗漏变量是指可能与解释变量相关的变量，本来应该加以控制，但是没有控制。此时该变量会跑到扰动项中，造成扰动项与解释变量相关。
• 双向因果
  双向因果是指核心解释变量A和被解释变量B互相影响。假设扰动项发生正向冲击，B会增加，则A发生变动，如此就有核心解释变量A和扰动项相关。此时，如果B对A有正向影响，正向冲击便会导致A增加，从而导致核心解释变量A和扰动项正相关。反之，会有核心解释变量A和扰动项负相关。
• 测量误差
  测量误差是指被解释变量存在度量误差或解释变量存在度量误差。
  （1）当解释变量存在度量误差
  y=α+βx'+e，x'无法精确观测，只能观测到x，x=x'+u，u为度量误差
  此时有：y=α+βx+(e-βu)
  因为u和x相关，所以新的扰动项e-βu和x存在相关关系，产生了内生性。此时，估计得到的系数绝对值会偏小。
  （2）当被解释变量存在度量误差
  y'=α+βx+e，y'无法精确观测，只能观测到y，y=y'+v，v为度量误差
  此时有：y=α+βx+(e+v)
  只要Cov(x,v)=0，则OLS估计量仍是一致的，但会增大扰动项的方差；若Cov(x,v)≠0，就会产生内生性问题
  有：y=α+βx+(e-βu)。

二、内生性问题的影响

OLS能够成立的最重要前提条件是解释变量与扰动项不相关。否则，OLS估计量将是有偏且不一致的。
无偏是指估计量的期望等于真实值。一致性是指，随着样本的增大，估计量无限接近于真实值。

三、如何解决内生性问题

1.固定效应模型

固定效应模型在一定程度上可以缓解内生性。因为使用固定效应模型的原因是存在个体效应、时间效应与解释变量相关。此时如果不用固定效应模型，这些个体、时间影响就会溜到扰动项中，就产生了内生性问题。

2.IV/2SLS

解决内生性问题常见的做法是使用工具变量。

2.1工具变量

工具变量：与模型中内生变量（解释变量）高度相关，但却不与误差项相关，估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与误差项相关的解释变量的变量。

“找好的工具变量好比寻找一个好的伴侣，ta应该强烈地爱着你（强相关），但不能爱着别人（外生性）。”

image.png

2.2 两阶段最小二乘法

IV法可以视为2SLS的特例。当内生变量个数=工具变量个数时，称为IV法；当内生变量个数<工具变量个数时，称为2SLS

2SLS思路如下：
y=α+βx1+γx2+u，其中x1是严格外生的，x2是内生的，则至少需要1个工具变量，z1为工具变量。
第一阶段回归：内生变量和工具变量
x2=a+bz1+cx1+e
第二阶段回归：内生变量的预测值和被解释变量
y=α+βx1+γx2'+v

2SLS背后逻辑：
将内生解释变量分为两部分，有工具变量造成的外生部分和与扰动项相关的内生部分。
第一阶段：通过外生变量的预测回归，得到这些变量的外生部分。
第二阶段：把被解释变量对解释变量中的外生部分进行回归，消除偏误得到一致估计。

注意：为了保证2SLS的一致性，必须把原方程中所有的外生解释变量都放入第一阶段回归。

2SLS的难点在于恰当的工具变量选择。若存在N个内生解释变量，则至少需要N个工具变量。

假设回归模型

y= α+βx1+γx2+u，其中x1是外生的，x2是内生的，有两个工具变量z1和z2。

stata命令如下：

ivregress 2sls depvar [varlist1] (varlist2 = varlist_iv) 

*depvar 被解释变量
*varlist1 外生解释变量
*varlist2 内生解释变量
*varlist_iv 工具变量

*示例1
ivregress 2sls y x1 (x2= z1 z2)  //普通标准误
ivregress 2sls y x1 (x2= z1 z2), r first  //异方差稳健标准误、显示第一阶段的回归

*示例2 3
ssc inatll ivreg2
ssc install xtivreg2
ssc install ranktest 
ivreg2 y x1 (x2= z1 z2), r  //异方差稳健标准误
xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2), fe r  //异方差稳健标准误、固定效应+2SLS

以上命令ivregress 2sls 和 ivreg2是等价的，只是 ivreg2显示的内容更为丰富。xtivreg2 相较于ivreg2，就是OLS和FE/FD模型的差别，ivreg2 ... i.Year i.id等价于xtivreg2 ... i.Year, fe。

2.3 工具变量的检验

针对工具变量有三大检验：

• 内生性检验
  Cov(x,u)≠0
• 相关性检验 （不可识别检验、弱工具变量检验）
  Cov(x,z)≠0
• 外生性检验（过度识别检验）
  Cov(z,u)=0

以上三大检验，优先做相关性检验。这是由于弱工具变量会对估计结果以及外生性检验结果产生影响。

（1）相关性检验

a.不可识别检验
不可识别检验的原假设是秩条件不成立，即工具变量与解释变量不相关。不可识别检验在一定程度上可以验证是否存在弱工具变量，但不能取代对弱工具变量的检验。关于弱工具变量的检验，可以分为单个内生变量和多个内生变量。

*示例
ivreg2 y x1 (x2= z1 z2), r  //异方差稳健标准误
xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2), fe r  //异方差稳健标准误、固定效应+2SLS

b.弱工具变量检验
如果方程中有一个内生变量，一个经验规则是在第一阶段回归中，如果F统计量>10，则可拒绝“存在弱工具变量”的原假设，不必担心弱工具变量的问题。

*示例
ivregress 2sls y x1 (x2= z1 z2), r first  //异方差稳健标准误、显示第一阶段的回归

如果方程中有多个内生变量，Stock & Yogo给出了检验规则：如果弱识别检验的最小特征值统计量>15% maximal IV size对应的临界值，就可以认为工具变量不存在弱相关问题。

*示例
ivreg2 y x1 (x2= z1 z2), r  //异方差稳健标准误
xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2), fe r  //异方差稳健标准误、固定效应+2SLS

如果发现是弱工具变量，解决的方法有：

• 寻找更强的工具变量
• 使用LIML（有限信息最大似然法），其对弱工具变量不敏感
• 如果有较多的工具变量，可以进行“冗余检验”，舍弃弱工具变量。冗余检验的原假设是，指定的工具变量是多余的。

*liml方法
ivregress liml y x1 (x2= z1 z2), r  //异方差稳健标准误、liml方法
ivreg2 y x1 (x2= z1 z2), r  liml  //异方差稳健标准误、liml方法
xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2), fe r  liml  //异方差稳健标准误、liml方法

*冗余检验
ivreg2 y x1 (x2= z1 z2), r redundant(varlist)  //异方差稳健标准误、冗余检验
xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2), fe r redundant(varlist) //异方差稳健标准误、冗余检验、固定效应+2SLS

（2）内生性检验
首先假定内生性进行2SLS回归，然后假定不存在内生性进行OLS回归，最后使用豪斯曼检验。
当p值<0.1时，表明两个回归的系数存在显著的系统性差异，及关注的核心变量有内生性。

*示例1
reg y x1 x2
est store ols
ivregress 2sls y x1 (x2=z1 z2)
est store iv
hausman iv ols, constant sigmamore  //根据存储的结果进行豪斯曼检验
*示例2
ivreg2 y x1 (x2= z1 z2), r  endog(x2) //异方差稳健标准误
*示例3
xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2), fe r endog(x2) //异方差稳健标准误、固定效应+2SLS

（3）外生性检验
在恰好识别的情况下，即工具变量数=内生变量数，此时公认无法检验工具变量的外生性，即工具变量与扰动项不相关。在这种情况下，只能进行定性讨论或依赖于专家的意见。在过度识别的情况下，可以进行“过度识别检验”。当p>0.1，接受原假设，说明工具变量具有外生性。

*示例
ivreg2 y x1 (x2= z1 z2), r  orthog(z1 z2) //异方差稳健标准误
xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2),  fe r orthog(z1 z2) //异方差稳健标准误、固定效应+2SLS

注意，如果误差项存在异方差或自相关，那么2SLS的估计虽然是一致估计量，但不是有效估计量。更有效的方法是“广义矩估计”GMM。某种意义上，GMM之于2SLS，正如GLS之于OLS，前者可以获得有效估计量，后者只能获得一致估计量。

该方法的前提条件是：工具变量数>内生变量数，且2SLS存在异方差或自相关

*示例
ivregress gmm ... 
ivreg2 ..., gmm2s
xtivreg2 ..., fe gmm

综上，在使用stata进行2SLS时，推荐使用ivreg2或xtivreg2。

对于面板数据，建议先对模型进行变换，然后对变换后的模型使用2SLS：

• 固定效应模型

*离差变换
xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2),  fe r 
*一阶差分
xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2),  fd r 

• 随机效应模型

xtivreg2 y x1 (x2= z1 z2),  re r 

参考资料：
《高级计量经济学及stata应用》
面板数据分析与Stata应用
测量误差及其对统计分析的影响
有人能讲讲工具变量和2SLS之间的关系吗？
工具变量法（五）: 为何第一阶段回归应包括所有外生解释变量
xtivreg2和它的山寨者