重新认识微积分和导数

古典微积分

对于一元函数来说任意连接曲线上的两点建立一条割线，其差分 difference 的斜率 Δy / Δx 反映了曲线在这两点之间的平均变化率。如果两点之间的距离无限逼近，此时 Δx，Δy 都变成了无穷小量 infinitesimal。为了和差分区别开来，将其命名为微分 differential，并用符号 dx 和 dy 表示。此时连接两个无穷小量的割线就被定义为一条切线，且定义 x 点切线的斜率 dy / dx 为 x 点的导数 derivative，记为 ƒ'(x) = dy / dx，由于导数实际上由两个微分的商来构成，因此导数也称为微商。

简单来说就是古典微积分采用无穷小量定义微积分。

极限微积分

由于古典微积分的“无穷小量” 这个定义带来了很多数学严格性的问题，后续人们先以 ξ - δ 语言 定义了极限，再以极限的方式定义了导数，在导数的基础上又定义了微分，最终形成了现代意义上的微积分。具体地：

设函数 ƒ(x) 在 x₀ 点的某个邻域有定义，当自变量 x 在 x₀ 处取得增量 Δx，且点 x₀ + Δx 仍在这个邻域内，相应地函数 y 取得增量 Δy = ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)，如果 Δy 和 Δx 之比当 Δx → 0 时的极限存在，则称 y = ƒ(x)
在 x₀ 点可导，并称这个极限为函数 y = ƒ(x) 在点 x₀ 处的导数，记为 ƒ'(x₀) ，也即 ƒ'(x₀) = lim Δy / Δx = lim [ ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀) ] / Δx，Δx → 0，也记作 y'|_x=x0

极限语境下的导数(图片来自微信公众号“马同学高等数学”)

如果函数在某个开区间内处处可导，则对应区间内每一个确定的 x 值，都有一个确定的 ƒ(x) 的导数与之对应，由此则这个导数就构成了一个新的关于 x 的函数，这个函数称为 ƒ(x) 的导函数，记做 y' 或 ƒ'(x)

在此基础上，令 dy = ƒ'(x)Δx，dx = Δx ，并将二者分别定义为 y 和 x 的微分，这样定义的意义在于可以用 dy = ƒ'(x)Δx = ƒ'(x)dx 来近似 Δy，即以一个线性函数逼近原函数，此时导数则又可以通过"微分的商"来表示 ƒ'(x) = dy / dx。有了局部的增量处理方法，就可以在整个函数的定义域内实行多次的以线性函数逼近原函数，“以直代曲，化整为零” 是极限微积分的核心。

以直代曲(图片来自微信公众号“马同学高等数学”)

偏微分和偏导数

由于一元函数本身只有一个变量，而多元函数则有多个变量，那么如果函数沿着其中某一个变量的方向变化，而其他变量保持不变时的微分和导数就是偏微分和偏导数。再进一步地，以二元函数为例，如果在函数某一点 P(x₀, y₀) 内具有一阶连续偏导数，那么函数在这一点的某一个特定方向上的导数就是方向导数。由于从一点出发可以有无数个方向，所以对于某一点有无数个方向导数，每一个方向导数也有不同的取值，在此基础上定义梯度方向为方向导数取值最大的方向，且其数学表示为：

∇ƒ(x₀, y₀) = ƒ_x(x₀, y₀)i + ƒ_y(x₀, y₀)j

后记

这篇笔记的出处来源于微信公众号“马同学高等数学”微分和导数的关系，作者讲解的比我清楚 100 倍，之所以做这个笔记是因为即便读了再多遍，没有内化的知识也是浅薄的，我希望可以通过笔记的方式记录并真正的消化这些知识。在这里强烈推荐这个公众号，这可能是国内最好的关于数学的公众号，并且绝对原创。我承认这是一个广告，但是是出于个人喜好的无利益支持。