线代--单位矩阵与逆矩阵

作者: 倪桦 | 来源:发表于2022-07-09 23:41 被阅读0次

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1、单位矩阵

$I_{n}=(i_{kj}) = \{ \begin{array} 01\ , if \ k = j \ ; \\ 0 \ ,if \ k \neq j \end{array}$
单位矩阵的特点是对角线为1(行号等于列号的单元元素值为1 )，其它元素值为0, 是一个方阵，且有 $I \times A = A \ ; A \times I = A$ ，当 $I$ 矩阵的每个行向量与 $A$ 矩阵的列向量进行乘的时候，由于 $I$ 矩阵的行向量第 $i$ 列才有值，所以相当于从 $A$ 矩阵的列向量中提取第 $i$ 个元素的值 $\rightarrow a_{ij} = \vec r_i \cdot \vec c_j = \vec c_{j(i)}$
$I_{2} = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}$ $I_{3} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$
python的numpy 库初始化一个3*3单位矩阵np.identity(n = 3)

2、矩阵的逆 $T^{-1}$

当存在矩阵 $B$ 与矩阵 $A$ 相乘满足条件 $A \times B = B \times A = I$ ，则称 $B$ 是矩阵 $A$ 的逆，记作： $B = A^{-1}$ 。可逆矩阵一定是方阵，非方阵一定不可逆，只有方阵才有逆。
单位矩与逆矩阵的关系: $A^0 = A \times A^{-1} = I$
矩阵的负幂计算： $A^{-2} = (A^{-1})^{2}$ ，这一类计算应用的很少。
python的numpy 对矩阵 $A$ 求逆矩阵 $invA$ ：invA = np.linalg.inv(A)

2.1、奇异矩阵与非奇异矩阵

在矩阵系统中，大量的矩阵不存在逆矩阵，但总体而言，可逆矩阵在矩阵系统中还是居多的，只是相比不可逆矩阵而言少的多。
满足可逆条件的矩阵称为可逆矩阵，也叫做 $\color {#4285f4}{\small非奇异矩阵(non-sigular)}$ ，意思是这种矩阵是非常平凡的矩阵，正规的矩阵(regular-matrix)；而不可逆矩阵则称为 $\color{red}{\small 奇异矩阵(singular)}$ 。

2.2、矩阵的逆的性质

① 对矩阵 $A$ 而言，若存在逆矩阵 $B$ 则 $B$ 唯一
② $(A^{-1})^{-1} = A$ ， $A$ 矩阵的逆矩阵的逆还是 $A$ ;
反证法证明如下: $令 A^{-1} = X,转而求证 X^{-1} = A \\ \because X \cdot A = I = A \cdot X \\ 又 \because X = A^{-1} \\ \therefore 得 A^{-1} \cdot A = I = A \cdot A^{-1} \\ \therefore X^{-1} = A \to (A^{-1})^{-1} = A$

③ $(A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1} \rightarrow (AB) \cdot (A^{-1}B^{-1}) =I \rightarrow A(B \cdot B^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I$
④ $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$ ，矩阵 $A$ 的转置的逆等于 $A$ 的逆的转置; 求证: $\because A^{T} \cdot (A^{-1})^{T} = I \to (A \cdot A^{-1})^{T} = I^{T} = I \to \ \therefore 得证 (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$

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