高等代数理论基础29：矩阵的逆

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-10 07:16 被阅读35次

高等代数理论基础29：矩阵的逆
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矩阵的逆

可逆

定义：给定n级方阵A,若有n级方阵B使得AB=BA=E,E为n级单位矩阵,则称A可逆

注：

1.A必须为方阵

2.对于任意方阵A,满足条件的方阵B是唯一的

证明：

$假设B_1,B_2满足条件$

$则B_1=B_1E=B_1(AB_2)$

$=(B_1A)B_2=EB_2=B_2\qquad\mathcal{Q.E.D}$

逆矩阵

定义：若方阵B满足AB=BA=E,则B称为A的逆矩阵,记作 $A^{-1}$

伴随矩阵

定义：给定方阵 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$

设 $A_{ij}$ 是A中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式,

方阵 $A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$ 称为A的伴随矩阵

注： $AA^*=A^*A=\begin{pmatrix}d&0&\cdots&0\\ 0&d&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&d\end{pmatrix}=dE$

其中d=|A|

若 $d=|A|\neq 0$ ,则 $A({1\over d}A^*)=({1\over d}A^*)A=E$

定理：方阵A可逆的充要条件是A非退化,且 $A^{-1}={1\over d}A^*(d=|A|\neq 0)$

证明：

$充分性$

$d=|A|\neq 0时$

$A可逆且A^{-1}={1\over d}A^*$

$必要性$

$若A可逆$

$则\exists A^{-1}使AA^{-1}=E$

$两边取行列式可得$

$|A||A^{-1}|=|E|=1$

$\therefore |A|\neq 0$

$即A非退化\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.对于n级方阵A,B,若AB=E,则A,B都可逆,且互为逆矩阵

2.若 $|A|=d\neq 0$ ,则 $|A^{-1}|=d^{-1}$

推论：若方阵A,B可逆,则A'与AB也可逆,且 $(A')^{-1}=(A^{-1})'$ , $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

证明：

$若方阵A,B可逆,显然A'与AB也可逆$

$下证(A')^{-1}=(A^{-1})',(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

$两边取转置可得$

$(A^{-1})'A'=A'(A^{-1})'=E'=E$

$\therefore (A')^{-1}=(A^{-1})'$

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=E$

$\therefore (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

矩阵的逆与线性方程组

给定线性方程组 $\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}$

可写成 $AX=B$

若 $|A|\neq 0$ ,则A可逆,用 $X=A^{-1}B$ 代入上式可得恒等式 $A(A^{-1}B)=B$ ,即 $A^{-1}B$ 是一个解

若 $X=C$ 是一个解,则由 $AC=B$ 得 $A^{-1}(AC)=A^{-1}B$ ,即 $C=A^{-1}B$

即解 $X=A^{-1}B$ 是唯一的

可逆矩阵与矩阵乘积的秩

定理：给定 $s\times n$ 矩阵,若P是 $s\times s$ 可逆矩阵,Q是 $n\times n$ 可逆矩阵,则 $r(A)=r(PA)=r(AQ)$

证明：

$令B=PA$

$则r(B)\le r(A)$

$由A=P^{-1}B$

$r(A)\le r(B)$

$\therefore r(A)=r(B)=r(PA)$

$另一等式同理可证\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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