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2019-05-08

2019-05-08

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-05-10 10:40 被阅读0次
  • OOK
  • \Large OOK(2ASK)(On Off Keying)
    • 以载波的通（有）断（无）来表达二进制信息（等同于对其乘1或0）,是单极性NRZ与载波相乘，可以看作是一个正弦波，其幅度在A，0之间切换，因此也称为二进制移幅键控（2ASK）
  • 除了开关键控的方法之外，也可以用DSB调制的方法产生OOK信号
  • b(t) = \sum_{n}a_n g_T(t-nT_b)是单极性NRZ
    • a_n\in \{0,1\}
    • 基带成形脉冲g_T(t)是宽度为T_b的矩形脉冲g_T(t) = rect(\frac{t}{T_b}-\frac{1}{2}) = \begin{cases}1,0\leq t\leq T_b \\0,else \end{cases}
  • OOK信号的表达式
    • 在[0,T_b]时间内,OOK发送两种波形s_1(t) = A\cdot cos(2\pi f_c t)和s_2(t) = 0之一，分别表示二进制数据的1或0。具体表示可以自由规定。
    • s_{OOK}(t) = \begin{cases} s_1(t) = A\cos 2\pi f_ct \\ s_2(t) = 0,0\leq t\leq T_b \end{cases}，在无限时间-\infty <t <\infty内，OOK信号的表达式为s_{OOK}(t) = b(t)\cdot A\cos 2\pi f_c t = A[\sum_{n}a_ng_T(t-nT_b)]\cos 2\pi f_c t,a_n\in \{0,1\}
    • 它是以A\cdot b(t)为复包络的DSB信号。
  • 单极性NRZ是双极性NRZ叠加直流：b(t) = \sum_{n}a_ng_T(t-nT_b) = \frac{1}{2}\sum_{n}\widetilde a_n g_T(t-nT_b)+\frac{1}{2}，其中\widetilde a_n = 2a_n-1 \in \{ \pm 1\}，将 a_n 代成 \frac{ \widetilde a_n+1}{2}，并注意\sum_{n = -\infty}^{\infty}g_T(t-nT_b) = 1，于是，OOK信号可以表示为s_{OOK}(t) = \frac{A}{2}[\sum_{n}\widetilde a_n g_T(t-nT_b)+1]\cos \omega_c t = \frac{A}{2}[\widetilde b(t)+1]\cos \omega_c t
  • 其中\widetilde b(t)是幅度为\pm1的双极性NRZ。上式对\widetilde b (t)是一个幅度系数为1的AM信号。
  • OOK是用双极性NRZ对载波做条幅系数为1的AM
  • OOK信号的功率谱密度
  • OOK信号的功率谱密度
  • 作为一种DSB信号，OOK信号s(t) = A\cdot b(t)\cos\omega_c t的功率谱密度是其复包络A\cdot b(t)的功率谱密度的搬移。
    • P_s(f) = \frac{A^2}{4}[P_b(f-f_c)+P_b(f+f_c)]
  • 单极性NRZ信号b(t)是双极性NRZ叠加直流
    • b(t) = \sum_{n}a_ng_T(t-nT_b) = \frac{1}{2}\sum_{n}\widetilde{a}_ng_T(t-nT_b)+\frac{1}{2}
  • b(t)的功率谱密度是
    • P_b(f) = \frac{T_b}{4}\cdot sinc^2(fT_b)+\frac{1}{4}\delta(f) = \frac{T_b}{4}\cdot sinc^2(\frac{f}{R_b})+\frac{1}{4}\delta(f)
  • s(t)的功率谱密度是
    • P_s(f) = \frac{A^2}{16}[\delta(f-f_c)+\delta(f+f_c)]+\frac{A^2T_b}{16}[sinc^2(\frac{f-f_c}{R_b})+sinc^2(\frac{f+f_c}{R_b})]
  • 主瓣带宽是2R_b，按照主瓣带宽计算的频带利用率是0.5bit/s/Hz
  • 匹配滤波器的接收
  • 在[0,T_b]时间内，OOK发送s_1(t) = A\cdot \cos (2\pi f_c t)或s_2(t) = 0\cdot s_1(t)，这是一种以g(t) = \begin{cases} A\cdot \cos (2\pi f_c t) ,0\leq t\leq T_b\\0,else \end{cases}为脉冲的单极性PAM，可用匹配滤波器接收
  • 接收信号
    • r(t) = s_i(t)+n_w(t) = \begin{cases}s_1(t)+n_w(t),\\n_w(t) ,\end{cases}
  • 匹配滤波器对s_1(t)匹配
    • h(t) = s_1(T_b-t) = \begin{cases}A \cdot \cos[2\pi f_c(T_b-t)],0\leq t\leq T_b \\0,else \end{cases}
  • 滤波器的输出
    • y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)h(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)s_1(T_b-t+\tau)d\tau
  • 采样得到的判决量
    • y = y(T_b) = \int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)s_1(\tau)d\tau = \int_{0}^{T_b}r(\tau)s_1(\tau)d\tau
  • 发送s_1(t)时的判决量
    • y = y(T_b) = \int_{-\infty}^{\infty}[s_1(\tau)+n_w(t)]s_1(\tau)d\tau = E_1+Z
    • Z = \int_{-\infty}^{\infty}n_w(\tau)s_1(\tau)d\tau
  • 发送s_2(t) =0时的判决量：y = 0+Z
  • 其中E_1是s_1(t)的能量，默认假设数据1,0等概，则E_1 = 2E_b
  • 噪声Z是零均值高斯随机变量，其方差是\frac{N_0}{2}E_1 = N_0E_b
  • 判决门限取在无噪声时y的两种取值的中点：V_T= \frac{0+E_1}{2} = \frac{E_1}{2} = E_b
  • 匹配滤波器输出的波形分析
  • [0.T_b]内的OOK信号是一个带通信号
    • s(t) = a\cdot A\cos(2\pi f_ct)\cdot rect(\frac{t}{T_b}-\frac{1}{2}),a = 0,1
    • = Aa\cdot g(t)\cdot \cos2\pi f_c t，a = 0,1
    • 其中g(t) = rect(\frac{t}{T_b}-\frac{1}{2})
  • s(t)的复包络是s_{L}(t) = Aa\cdot g(t)
  • 匹配滤波器的冲激响应
    • h(t) = s_1(T_b-t) = A\cdot g(t)\cdot \cos[2\pi f_c (T_b-t)] = A\cdot g(t)\cos[2\pi f_ct-2\pi f_cT_b]
    • 其中g(t) = g(T_b-t)，位于[0,T_b]、高度为1的矩形
    • 冲激响应是一个带通信号，其复包络为h_L(t) = A\cdot g(t)e^{-j2\pi f_cT_b}
    • 等效基带冲激响应h_e(t) = \frac{1}{2}h_L(t) = \frac{A}{2}\cdot g(t)e^{-j2\pi f_c T_b}
  • 滤波器输出的复包络y_L(t)是s_L(t)与h_e(t)的卷积：y_{L} = s_{L} \bigotimes h_e(t) = [Aa\cdot g(t)] \bigotimes[\frac{A}{2}\cdot g(t)e^{-j2\pi f_c T_b}] = \frac{A^2a}{2}\cdot g(t)\bigotimes g(t)
  • 位于[0,T_b]的两个矩形的卷积是位于[0,2T_b]的三角形，其函数表达式为T_b-|t-T_b|,0\leq t\leq 2T_b
  • 滤波器输出的复包络
    • y_L(t) = \frac{A^2a}{2}\cdot g(t)\bigotimes g(t)
    • = a\frac{A^2T_b}{2}e^{-j2\pi f T_b}(1-\frac{|t-T_b|}{T_b}),0\leq t\leq 2T_b
  • 滤波器输出的带通信号表达式
    • y(t) = Re\{ y_L(t) e^{j 2\pi f_c t}\} = a E_1(1-\frac{|t-T_b|}{T_b})\cos(2\pi f_ct-2\pi f_cT_b),0\leq t\leq 2T_b
    • E_1 = \frac{A^2T_b}{2}
  • 相关解调器的接收
  • 匹配滤波器在最佳采样时刻输出的判决量
    • y = y(T_b) = \int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)s_1(\tau)d\tau = \int_0^{T_b}r(\tau)s_1(\tau)d\tau = \int_{0}^{T_b}r(t)s_1(t)dt
    • 匹配滤波器+采样= 相关器
  • 相干解调+基带匹配滤波器接收
  • OOK 是单极性NRZ对载波做DSB调制，可以先做DSB解调，然后对单极性NRZ信号进行匹配滤波器接收
  • 接收信号是r(t) = a\cdot A\cos2\pi f_ct\cdot rect(\frac{t}{T_b}-\frac{1}{2})+n_w(t),a = 0,1
  • 基带型的匹配滤波器不能通过2倍的载频成分，不考虑2f_c附近的频率成分，滤波器的输入是Aa\cdot rect(\frac{t}{T_b}-\frac{1}{2})+n(t),a = 0,1
  • 匹配滤波器h(T_b-t) = rect(\frac{T_b-t}{T_b}-\frac{1}{2}) = rect(\frac{1}{2}-\frac{t}{T_b}) = rect(\frac{t}{T_b}-\frac{1}{2}),输出的有用信号是矩形和矩形的卷积。
  • 带通匹配与基带匹配在采样点完全等价，但基带匹配对采样时间偏差的敏感度低。
  • 相干解调+基带相关器接收
  • 在基带，匹配滤波器+采样也等价与相关器
  • 采样时刻的判决量
    • y = \int_{-\infty}^{\infty}v(\tau)h(T_b-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}v(\tau)rect(\frac{T_b-\tau}{T_b}-\frac{1}{2}) d\tau
    • \int_{-\infty}^{\infty}v(\tau) rect(\frac{\tau}{T_b}-\frac{1}{2})d\tau = \int_{0}^{T_b}v(t)dt = \int_{0}^{T_b}r(t)\cdot 2\cos(2\pi f_c t)dt
  • 与前面的相关型解调是一样的只有系数差别。
  • 以上四种接收机（带通匹配、相关、基带匹配、相关）除去不影响信噪比的系数外，在采样点的判决量完全相同，因此他们是等价的，误比特率公式一样
  • P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}})，是一切单极性PAM的误比特率公式。其特征是用波形的有无表示数据。单极性NRZ,OOK都是单极性PAM
  • 非相干解调
  • 上述是相干解调，接收端必须准确知道s_1(t)所用的载波的频率和相位。
  • 若带宽受限，将基带信号中的矩形脉冲改为根升余弦频谱脉冲。
  • s(t)= A\cdot b(t)\cos\omega_c t
  • 带宽是(1+\alpha ) R_b，频带利用率是\frac{1}{1+\alpha}(bit/s/Hz)，无ISI传输的极限频带利用率是1
  • 接收端的主流做法是基带匹配，误比特率公式与原来相同。

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