线性代数笔记26

线性代数笔记26

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-03-16 20:01 被阅读0次

对称矩阵及对称性

对称矩阵
$A=A^T$

特征值都是实数
特征向量都是垂直的（正交的）

则通常
$A=SAS^{-1}$
则对称矩阵可以写为 $A=QAQ^{-1}=QAQ^{T}$

为什么特征值为实数

证明：

$Ax=\lambda x \tag {1}$
则有，取共轭
$\bar A\bar x=\bar \lambda \bar x \rightarrow \bar x ^T A=\bar x ^T \bar \lambda \tag{2}$
这里取转置，利用假设（ $A=A^T$ ）
(2)式右乘x得到：
$\bar x ^T Ax=\bar x ^T \bar \lambda x \tag{3}$
可得：
$\lambda \bar x ^T x=\bar \lambda \bar x ^T x \tag{4}$
所以只要 $\bar x ^T x$ 不为零，则有 $\lambda$ 等于它的共轭，则为实数，得证。
对于实矩阵， $A=A^T$
如果式复数矩阵，需要满足 $A=\bar A^T$

求特征值太难，但是求主元却简单很多
而，矩阵的特征值的符号，和主元的符号一一对应
这提供了一种计算特征值的方法，至少是缩小范围的，你能知道多少个为正，多少个为负
主元的乘积就是特征值的乘积，就是行列式的值

正定矩阵

对称矩阵，（1所有主元都是正的，2特征值都为正数的矩阵，3所有的子行列式都为正），称为正定矩阵
而这三个条件是等价的

相关文章

网友评论

本文标题：线性代数笔记26

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/sjfxmqtx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

栏目导航

热点阅读

关于我们|服务条款|联系我们|线性代数笔记26|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网版权所有

备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！