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线性代数笔记26

线性代数笔记26

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-03-16 20:01 被阅读0次

对称矩阵及对称性

对称矩阵
A=A^T

  1. 特征值都是实数
  2. 特征向量都是垂直的（正交的）

则通常
A=SAS^{-1}
则对称矩阵可以写为A=QAQ^{-1}=QAQ^{T}

为什么特征值为实数

证明：

Ax=\lambda x \tag {1}
则有，取共轭
\bar A\bar x=\bar \lambda \bar x \rightarrow \bar x ^T A=\bar x ^T \bar \lambda \tag{2}
这里取转置，利用假设（A=A^T）
(2)式右乘x得到：
\bar x ^T Ax=\bar x ^T \bar \lambda x \tag{3}
可得：
\lambda \bar x ^T x=\bar \lambda \bar x ^T x \tag{4}
所以只要\bar x ^T x不为零，则有\lambda等于它的共轭，则为实数，得证。
对于实矩阵，A=A^T
如果式复数矩阵，需要满足A=\bar A^T

求特征值太难，但是求主元却简单很多
而，矩阵的特征值的符号，和主元的符号一一对应
这提供了一种计算特征值的方法，至少是缩小范围的，你能知道多少个为正，多少个为负
主元的乘积就是特征值的乘积，就是行列式的值

正定矩阵

对称矩阵，（1所有主元都是正的，2特征值都为正数的矩阵，3所有的子行列式都为正），称为正定矩阵
而这三个条件是等价的

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