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【数学建模算法】（3）线性规划综合实例：投资问题

【数学建模算法】（3）线性规划综合实例：投资问题

作者: 热爱学习的高老板 | 来源:发表于2019-08-03 22:40 被阅读0次

问题提出

市场上有n种资产s_{i}(i=1,2,...,n)可以选择，现用数额为M的相当大的资金做一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买s_{i}的平均收益率为r_{i}，风险损失率为q_{i}，投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的s_{i}中最大的一个风险来度量。

购买s_{i}时要付交易费，（费率p_{i}），当购买额不超过给定值u_{i}时，交易费按购买u_{i}计算。另外，假定同期银行存款利率是r_{0}，既无交易费也无风险。(r_{0}=5\%)

假设n=4的相关数据见下表。

s_{i} r_{i}(\%) q_{i} p_{i}(\%) u_{i}(元)
s_{1} 28 2.5 1 103
s_{2} 21 1.5 2 198
s_{3} 23 1.5 2 198
s_{4} 25 2.6 6.5 40

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。

符号规定和基本假设

符号规定

s_{i}:第i种投资项目，如股票，债券。
r_{i}，p_{i}，q_{i}:分别为s_{i}的平均收益率，交易费率，风险损失率。
u_{i}:s_{i}的交易定额。
r_{0}:同期银行利率
x_{i}:投资项目s_{i}的资金
a:投资风险度
Q:总体收益

基本假设

投资数额M 相当大，为了便于计算，假设M=1;
投资越分散，总的风险越小；
总体风险用投资项目s_{i}中最大的一个风险来度量；
n种资产s_{i}之间是相互独立的；
在投资期间r_{i}，p_{i}，q_{i}是定值，不受意外因素影响；
净收益和总体风险只受r_{i}，p_{i}，q_{i}影响，不受其它因素干扰。

模型的分析与建立

1.总体风险用所投资的s_{i}中最大的一个风险来衡量，即
\max \left\{q_{i} x_{i} | i=1,2, \cdots, n\right\}
2.购买s_{i}所付交易费是一个分段函数，即:
交易费=\left\{\begin{array}{ll}{p_{i} x_{i},} & {x_{i}>u_{i}} \\ {p_{i} u_{i},} & {x_{i} \leq u_{i}}\end{array}\right.
题目所给定的定值u_{i}（单位：元）相对总投资M很少，p_{i} u_{i}更少，可以忽略不计，这样购买s_{i}的净收益为\left(r_{i}-p_{i}\right) x_{i}
3.任务目标是使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，所以这是一个多目标线性规划模型。

目标函数

\left\{\begin{array}{l}{\max \sum_{i=0}^{n}\left(r_{i}-p_{i}\right) x_{i}} \\ {\min \max \left\{q_{i} x_{i}\right\}}\end{array}\right.

约束条件

\left\{\begin{array}{l}{\sum_{i=0}^{n}\left(1+p_{i}\right) x_{i}=M} \\ {x_{i} \geq 0, \quad i=0,1, \cdots, n}\end{array}\right.

模型简化

模型一 固定风险水平，优化收益

给定一个界限a，只要不超过这个界限的风险量都可以接受，也就是将风险的目标函数转换为限制条件，这样问题就变成了一个单目标的线性规划问题。

目标函数

\max \sum_{i=0}^{n}\left(r_{i}-p_{i}\right) x_{i}

限制条件

\left\{\begin{array}{l}{\frac{q_{i} x_{i}}{M} \leq a} \\ {\sum_{i=0}^{n}\left(1+p_{i}\right) x_{i}=M, \quad x_{i} \geq 0, \quad i=0,1, \cdots, n}\end{array}\right.

模型二 固定盈利水平，极小化风险

希望总盈利至少达到k以上，在风险最小的情况下寻求相应的投资组合。

目标函数

\min \left\{\max \left\{q_{i} x_{i}\right\}\right\}

限制条件

\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}{\sum_{i=0}^{n}\left(r_{i}-p_{i}\right) x_{i} \geq k} \\ {\sum_{i=0}^{n}\left(1+p_{i}\right) x_{i}=M, \quad x_{i} \geq 0, \quad i=0,1, \cdots, n}\end{array}\right.

模型三 均衡盈利和风险

设立一个权重s(0<s \leq 1)称为投资偏好系数。代表对于盈利和规避风险的偏好。

目标函数

\min \quad s\left\{\max \left\{q_{i} x_{i}\right\}\right\}-(1-s) \sum_{i=0}^{n}\left(r_{i}-p_{i}\right) x_{i}

限制条件

s.t. \sum_{i=0}^{n}\left(1+p_{i}\right) x_{i}=M, \quad x_{i} \geq 0, \quad i=0,1,2, \cdots, n

求解

本文以模型一为例进行求解和分析，模型二和模型三读者可自行实践。

将表中数据代入模型一。

目标函数

\min f=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T}

限制条件

s.t. \left\{\begin{array}{l}{x_{0}+1.01 x_{1}+1.02 x_{2}+1.045 x_{3}+1.065 x_{4}=1} \\ {0.025 x_{1} \leq a} \\ {0.015 x_{2} \leq a} \\ {0.055 x_{3} \leq a} \\ {0.026 x_{4} \leq a} \\ {x_{1} \geq 0(i=0,1, \cdots, 4)}\end{array}\right.

由于a是任意给定的风险度，那么风险度定为多少比较适合呢？

我们可以将风险度与收益的关系拿出来分析。

clc,clear
a=0;
hold on
while a<0.05
c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
b=a*ones(4,1);
Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
beq=1;
LB=zeros(5,1);
[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
Q=-Q;
plot(a,Q,'*r');
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')
***

画出Q和a的图像。


风险a与利润Q的关系

结论

1.从图中可以看出，风险越大，利润越大。
2.从模型结构中可以看出，当投资越分散时，承担的风险越小。冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则会尽量分散投资。
3.在a=0.006处附近有一个拐点，在拐点左侧，利润随风险增加较快，拐点右侧则陡然变得平缓，在a>0.025之后，随风险的增加，利润不变。针对那些对投资没有特殊偏好的投资者，可以选择第一个拐点作为最优投资组合。

对应的投资方案为：

风险度a=0.006，收益Q=0.2019，x_{0}=0，x_{1}=0.24，x_{2}=0.4，x_{3}=0.1091，x_{4}=0.2212

以上，是一次相对简单的数学建模和解决问题的过程，下一部分我们将会讨论线性规划的进一步延伸——整数规划问题。

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