非刚体配准的相似度测量

作者: 此间不留白 | 来源:发表于2020-10-05 20:44 被阅读0次

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上海交通大学医学图像处理技术

针对非刚体的配准，我们通过基于像素点的相似度测度来评估配准的效果。将配准的一对图像叠加在一起，用描述对应像素之间的关系的函数表述图像配准的效果。理想情况下，对应像素能够“对齐”（aligned），图像也就能够获得更好的配准效果。

均方误差测度（Mean-squared error）

均方误差的公式如下：
$MSE(I_1,I_2) = \frac{1}{N} \sum_{x} \sum_{y} {(I_1(x,y)-I_2(x,y))}^2$

其中：
$I_1(x,y)$ 表示图像 $I_1$ 在点 $(x,y)$ 处的像素值
$I_2(x,y)$ 表示图像 $I_2$ 在点 $(x,y)$ 处的像素值
$N$ 代表图像的像素数量或者体素数量
理想情况下， $MSE=0$ ，表示两幅图像的像素能够完全重合。

如下图所示，表述了一幅图像的拷贝从左到右滑过时，对应的MSE值的变换。

如下图所示，可以用两幅图像的灰度相关直方图来描述图像的配准效果，分别用 $x$ 和 $y$ 轴表示两幅图像的灰度分布， $z$ 轴表示两幅图像灰度值的变化，如果，实现了理想的配准效果，从 $z$ 轴俯视灰度相关直方图，可以看到，形成了一条沿对角线分布的直线，即两幅图像的对应像素点高度相关，我们用ridge表示。

若两幅图像的配准存在较大误差，则ridge的分布会更加分散，蔓延到整个平面，如下图所示。

归一化互相关(Normalized cross correlation)

评价图像配准的另一个测度函数是归一化互相关，其公式如下所示：
$NCC(I_1,I_2) = \frac{1}{N-1} \sum_{x} \sum_{y} \frac{(I_1(x,y)- \bar I_1 )(I_2(x,y)- \bar I_2 )}{\sigma_{I_1} \sigma_{I_2}}$

其中：

$\bar I_{1} ,\bar I_{2}$ 分别表示两幅图像，像素灰度的平均值；
$\sigma_{1},\sigma_{2}$ 分别表示两幅图像，灰度的标准差；
归一化互相关的值为1时，表示图像实现了完美的配准。

如下图所示，表示，从左到右滑过图像时，图像配准的评价指标NCC的变化情况：

如下图所示，对Moving Image的灰度值进行一个取反（针对低于50和大于150的像素），将Moving Image 从左到右滑过时，其MSE和NCC并没有达到理想值，但其曲线仍然会发生一个剧烈的峰值抖动。

灰度取反后的MSE曲线变化

灰度取反后的NCC曲线变化

如下图，同样地，可以用灰度相关直方图评估图像配准的效果

归一化互信息（Normalized mutual information）

当我们对Moving Image进行一定程度的变化时（比如取反）时，MSE测度和NCC测度并不能达到理想值，而归一化互信息测度能够有效解决这一问题，其公式如下所示：
$NMI(I_1,I_2) = \frac{H(I_1)+H(I_2)}{H(I_1,I_2)}$
其中：
$H(x) = - \sum{p(x) log_2(p(x))}$

$H(x,y) = - \sum{p(x,y) log_2(p(x,y))}$

$X,Y$ 表示灰度的随机变量
$x,y$ 表示图像中灰度的特定取值
$p(x)$ 表示图像中灰度值为 $x$ 的概率
$p(x,y)$ 表示 $x,y$ 像素对齐的概率

如下图所示，取反后的Moving Image从左到右滑过后图像的归一化互信息变化，可以看出，与MSE和NCC相比，曲线在全局范围内有一个明显的脉冲，可以很好的评估图像配准的结果。

如下图所示，当给图像添加一些随机噪声时，NMI和MSE测度都不能很好地评价图像的配准效果，虽然NCC测度能够在全局范围内找到一个极值点评估图像的配准效果，但是在含有大量噪声的测度曲线中，很容易收敛于局部极值而影响图像的配准效果。因此，针对这种情况的图像配准，可通过除噪或者其他的测度函数来评估配准效果。