通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二)

作者: 胡文祥lyy | 来源:发表于2019-07-31 23:54 被阅读0次

在上一篇中通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(一)中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后得到了在周期为 $2\pi$ 的傅里叶级数的系数解，那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢？

我们先看在周期为 $2\pi$ 的函数傅里叶级数表达:
$f(x)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(nx) +b_nsin(nx) )$
其对应的解为：
$a_0=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)dx$
$a_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)cos(nx)dx$
$b_n=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^\pi f(x)fin(nx)dx$
如何将其变为任意周期的函数呢？

其实这里只需要简单的换元操作即可。
举个栗子:
$f(x)=\sin(x)$ 其周期为 $2\pi$ , $f(x)=f(x+2\pi)$ 。我们令 $x=2t$ ,则 $f(x)=f(2t)=f(2t+2\pi)=f(2(t+\pi))$ ,整理下:
$f(2(t))=f(2(t+\pi))$
所以在对于t来说就变换成了周期为 $\pi$ 的函数。
so对于周期为 $2L$ （方便计算）的函数f(t) 只需令 $x=\frac{\pi}{L}t$ 带入原周期为 $2\pi$ 的函数即可：
$f(t)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(\frac{\pi nt}{L}) +b_nsin(\frac{\pi nt}{L}) )$
同样的可以得到：
$\cos(x)=\cos(\frac{\pi t}{L})$
$\sin(x)=\sin(\frac{\pi t}{L}) )$
$\int_{-\pi}^\pi dx=\int_{-L}^L d\frac{\pi t}{L}$
最后我们得到:
$a_0=\frac{1}{L }\int_{-L}^L f(t)dt$
$a_n=\frac{1}{L }\int_{-L}^L f(t)cos(\frac{\pi nt}{L})dt$
$b_n=\frac{1}{L }\int_{-L}^L f(t)sin(\frac{\pi nt}{L})dt$

过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。

2 傅里叶级数的复数形式

我们在写一下傅里叶级数的公式：
$f(t)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_ncos(n \omega t) +b_nsin(n \omega t) ) \\ \omega=\frac{2\pi }{T}$
其中T代表函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是:

$a_0=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)dt$
$a_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)cos(n \omega t)dt$
$b_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)sin(n \omega t)dt$

想要得到傅里叶级数的复数形式，需要先了解下欧拉公式。
关于欧拉公式，网上有很多的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。
我们先看下公式：
$e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$

$e^{i\theta}$ 可以看作是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是 $cos(\theta)$ ，到虚轴的投影是 $isin(\theta)$ ，其中 $\theta$ 便是向量与实轴的夹角。

image.png

而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动

欧拉公式.gif

随着 $\theta$ 变化， $e^{i\theta}$ 就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。

而且通过欧拉公式，我们可以得到三角函数的复数形式：
$\cos(\theta)=\frac{1}{2}(e^{i \theta}+e^{-i \theta}) \\ \sin(\theta)=-\frac{1}{2}i(e^{i \theta}-e^{-i \theta} )$

将上面的复变三角函数替换傅里叶级数中的三角函数得到:
$f(t)= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\frac{1}{2}(e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}) -b_n\frac{i}{2}(e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t})) \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty ((a_n\frac{1}{2}e^{i n \omega t}+a_n\frac{1}{2}e^{-i n \omega t}) -(b_n\frac{i}{2}e^{i n \omega t}- b_n\frac{i}{2}e^{-i n \omega t})) \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty ((\frac{a_n-b_ni}{2}e^{i n \omega t}+\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-i n \omega t}) ) \\ =\sum_{n=0}^0\frac{a_0}{2} e^{in\omega t}+\sum_{n=1}^\infty (\frac{a_n-b_ni}{2}e^{i n \omega t})+\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-i n \omega t} )$
我们令 $\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-i n \omega t} )$ 中的n为-n
则得到：
$f(t)=\sum_{n=0}^0\frac{a_0}{2} e^{in\omega t}+\sum_{n=1}^\infty (\frac{a_n-b_n}{2}e^{i n \omega t})+\sum_{n=-\infty}^{-1}(\frac{a_{-n}+b_{-n}i}{2}e^{-i -n \omega t} )$
所以可以看到n的范围变成了 $-\infty$ 到 $\infty$ ，并且每一项都有 $e^{i n \omega t}$ ，于是我们可以得到一个漂亮的形式：
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{in\omega t}$

其中 $C_n$ 分为3中情况：
$n=0 \quad\quad C_n=\frac{a_0}{2} \\ n=1,2,3... \quad C_n=\frac{a_n-b_ni}{2}\\ n=-1,-2,-3... \quad C_n=\frac{a_{-n}+b_{-n}i}{2}$

我们将傅里叶级数之前的解带入上边
$a_0=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)cos(n \omega t)dt \\ b_n=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)sin(n \omega t)dt$

当n=0的时候：

$n=0 \quad\quad C_n=\frac{a_0}{2}=\frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)dt = \frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-n \omega t}dt\\$

当 $n=1,2,3...$ 的时候

$\quad C_n=\frac{a_n-b_ni}{2}=\frac{1}{2}( \frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)cos(n \omega t)dt-\frac{2i}{T }\int_{0}^T f(t)sin(n \omega t)dt)\\ = \frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)cos(n \omega t)-isin(n \omega t)dt$
这里因为cos是偶函数，sin是奇函数所以：

$\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)cos(n \omega t)-isin(n \omega t)dt = \frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)cos(-n \omega t)+isin(-n \omega t)dt =\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt$

当 $n=-1,-2,-3...$ 的时候

$C_n=\frac{a_{-n}+b_{-n}i}{2}= \frac{1}{2}( \frac{2}{T }\int_{0}^T f(t)cos(-n \omega t)dt+\frac{2i}{T }\int_{0}^T f(t)sin(-n \omega t)dt) \\ =\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)cos(-n \omega t)+isin(-n \omega t)dt =\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt$

可以惊奇的发现，三种情况的解是一样的。所以对于任意周期函数，我们都可以写成:
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{in\omega t} \\ C_n=\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt$
但其中的每一项是什么意思呢？
还记得之前说的 $e^{i\theta}$ 的本质吗？在圆上做圆周运动，那么 $e^{-in \omega t}$ 也是在做周期运动了。那 $n\omega$ 又是什么呢？
我们知道 $\omega=\frac{2\pi }{T}$ ，所以我们可以把 $\omega$ 看成是以 $2\pi$ 为单位的频率(正常来讲频率是 $\frac{1}{T}$ )。而系数 $n$ 是就可以看成是几倍的基频，正数是逆时针运动，负数就是顺时针运动。在图形上的反应就是，频率越高，转的越快了
，但其最小公共周期是一样的。
1倍基频

1倍频.gif 10倍基频

10倍频.gif

那么系数 $C_n$ 怎么理解呢？前面说过 $ae^{i\theta}$ 的系数a是代表 $e^{i\theta}$ 运动的圆半径，这里 $C_n$ 是复数是不是也能这样理解呢？其实粗糙来讲是可以这样理解的。
看个图，只管的理解下把

gif1.gif

上图中红色的向量相对于蓝色的向量只是多了系数 $C_n=\sqrt2+i\sqrt2$ ,所以红色向量运动的半径就是2刚好是复数 $\sqrt2+i\sqrt2$ 的模长乘以1，当然除此之外，红色向量的幅角也变大了些。这些都是因为复数的乘法性质---复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。
这下，当有人和你说傅里叶变换是把时域变换到频域上，你应该就很容易理解是什么意思了。频域就是1倍，2倍，3倍.......的 $\omega$ ,而每个 $\omega$ 都有自己的幅长 $C_n$ ,当把这些所有的 $\omega$ 相加，就得到时域中的图像。

更加生动有趣的介绍可以参见傅里叶分析之掐死教程，我这里是从数学的角度来介绍傅里叶变换。

3 推广到非周期函数上

目前该证明的都差不多了，还有最后一个任务，就是推广到非周期函数上。对于非周期函数，我们可以看成是周期无限远的函数，那也就是周期T变成 $\infty$ 的时候傅里叶级数。随则T的变大 $w$ 也就不断的减小，当T趋近于 $\infty$ 的时候， $w$ 也由 $1w,2w,3w......$ 变成了 $\Delta w$ ，那么很自然就需要对 $w$ 做积分。

我们先看下
$\Delta w=(n+1)w-nw=w=\frac{2\pi}{T} \\ \frac{1}{T} =\frac{\Delta w}{2\pi}\\$

当T趋近于 $\infty$ 的时候我们可以得到：
$\int_{0}^T f(t)dt \quad -> \quad \int_{-\infty}^\infty f(t)dt\\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta w \quad -> \quad \int_{-\infty}^\infty dw$
将这些带入傅里叶级数,并且T趋近于 $\infty$ ，就得到:
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T }\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt e^{in\omega t} \\ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta w}{2\pi}\int_{0}^T f(t)e^{-in \omega t}dt e^{in\omega t}\\ =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt e^{i\omega t}dw$
其中画红圈的地方就是傅里叶变换

image.png
一般写成一个关于的函数，其实就相当于前面的:

而整个公式就是傅里叶逆变换，写成：
$F^{-1}(t)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt e^{i\omega t}dw=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(w) e^{i\omega t}dw$

以上就是傅里叶变换的全部内容，如果你喜欢的话就点个赞。有时间的话，我会写些傅里叶变换的应用。

通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二)