1, 什么是傅里叶级数
什么是级数?
级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:
这种由很多项相加的形式就是级数。
对于函数就是如下这个形式:
如何用级数表达一个周期函数
在工程中,我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他,或者原函数无法很好的去分析波的特征。
image.png所以我们需要找到一个函数去近似原函数,而且这个有很好的特性,方便去做分析。
法国数学家傅里叶就发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。
看一个动图来理解下这句话。
Fourier_series_square_wave_circles_animation
右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。
下面给出傅里叶级数的数学公式。
原函数就由无数个组成的。这个公式理解起来也很简单,是个常数项,因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动,想要让其脱离0点,就必须加入这个偏移项,当然你也可以理解为。
便是无数个sin和cos的组合,其中就相当于上面动图中的 代表着振幅,也就是圆半径的大小。就相当于动图中的前的系数1,3,5,7代表着频率,也就是圆转一圈用的速度。so,是不是很容易理解。
代表这频率,那其中的代表着什么呢?就是函数的周期,的作用就是构建一个周期为的波形,只是随着的增大,波的频率越来越高。例如都是周期的函数,只是的最小周期不在是,所以其频率就变大了。
这里强调下,傅里叶级数是针对周期函数的,对于非周期的函数就是傅里叶变换了。
很多博主在解读傅里叶级数的时候,上来就说时域,频阈,复频域,欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式,本质都是一样的。先理解了上面的公式,以此为基础进行展开,会更加容易理解。
2,如何求解
还记得我们的目标吗?找出一个函数去近似原函数,样子已经有了:
我们只需要求出就可以得到。
所以这里有个前提,我们在看下需要求解的波形:
image.png对于原函数是什么样的我们并不知道,但我们知道在每个x处的取值,毕竟这个波是我们自己采样得到的。
所以求解最简单得方法就是,构建n个方程等式,求解一个n元一次方程,如上面所示。这里是常数,得数量由自己定义。
当然上面是小学生的解法,大家不要当真。
在给大家介绍傅里叶级数的解之前,我们先看下周期为的傅里叶级数,令带入:
其对应的解为:
想要求出这几个解,我们要先了解下三角函数的正交性,而理解三角函数的正交最好就是从周期为的函数开始。
什么是正交?在线性代数中,正交就是两个向量垂直,如下图(A)。
正交和 正交,就表现为,也就是两个向量的内积等于0
而在函数上的正交就表现为积分的形式:
其中 就是的内积,当其为零的时候就说明两个函数在区间内正交。
回到傅里叶级数,下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。
{}
任意两个三角函数一定条件下在 和之间是正交的,详细如下:
关于其证明网上有很多,这里就不细说了。
下面看如何利用上面的性质来接
将函数两边同时积分
将移到前面。
其中 可以看成 ,根据前面的正交性,得到这两项都等于0,于是上面的函数就等于
于是:
下面求解下
将两边乘上,然后两边同时积分
将移到前面。
同样根据正交性 等于0. 而 只有的项不为0,其他的也会为0,所以:
在正交性那块我给出了 ,所以:
关于求法是一样得,这里就不细说了。
上面便是傅里叶级数得求解过程,但是这里我们定义得频率是。
如何把傅里叶级数扩展到任意周期上,以及傅里叶变换,在通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二)
中会详细介绍,希望以上得内容能帮到你。
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