机器学习笔记----夹逼定理

夹逼定理（来自于百度百科）

一  如果数列{Xn}，{Yn}及{Zn}满足下列条件：

1.当 n> N0时，其中N0∈N*,有Yn≤Xn≤Zn,

2.{Yn},{Zn}有相同的极限a，设-∞<a<+∞

则，数列{Xn}的极限存在，且当n --->+∞, limXn =a;

证明：因为limYn=a，limZn=a，所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1、N2，当n>N1时 ，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε、∣Zn-a∣<ε同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε<Yn<a+ε, a-ε<Zn<a+ε;即a-ε<Yn<Xn<Zn<a+ε; 即∣Xn-a∣<ε成立，即 limXn =a 。

二

F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A

则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有

F(x)≤f(x)≤G(x)

则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)

即　A≤limf(x)≤A

故 limf(Xo)=A

简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。

应用

1.设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a.

若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.

2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定

f(x)的极限