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并查集:(union-find sets)
一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合,能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作,应用很多,如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属:实现Kruskar算法求最小生成树。
并查集的精髓:
Make_Set(x) :把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身,每一个元素的祖先节点也是它本身。
int father[MAX]; /* father[x]表示x的父节点*/
int rank[MAX]; /* rank[x]表示x的秩*/
/* 初始化集合*/
void Make_Set(int x){
father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化
rank[x] = 0; //根据实际情况初始化秩也有所变化
}
Find_Set(x){ 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合,其精髓是找到这个元素所在集合的祖先!这个才是并查集判断和合并的最终依据。判断两个元素是否属于同一集合,只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。合并两个集合,也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先.
Find_Set(x)时路径压缩寻找祖先时我们一般采用递归查找,但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时,每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度,有没有办法减小这个复杂度呢?答案是肯定的,这就是路径压缩,即当我们经过"递推"找到祖先节点后,"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先,这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了,如下图所示;可见,路径压缩方便了以后的查找
Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单:利用Find_Set找到其中两个集合的祖先,将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。
Union(x,y)时 按秩合并即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中,这样合并之后树的高度会相对较小。
/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/
int Find_Set(int x)
{
if (x != father[x])
{
father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华
}
return father[x];
}
/*
按秩合并x,y所在的集合
下面的那个if else结构不是绝对的,具体根据情况变化
但是,宗旨是不变的即,按秩合并,实时更新秩。
*/
void Union(int x, int y)
{
x = Find_Set(x);
y = Find_Set(y);
if (x == y) return;
if (rank[x] > rank[y])
{
father[y] = x;
}
else
{
if (rank[x] == rank[y])
{
rank[y]++;
}
father[x] = y;
}
}
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