从无名小村落到长春最快多长时间？用Python实现狄克斯特拉算法

狄克斯特拉算法介绍

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述
(1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
(2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
引用自最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

我的解释

其实没有这么难，对于我来说，只有这几步：
找出最快能到达的节点。
更新它邻居的开销。
重复，再重复。
直到没有未处理的节点。
感觉被世界上最恶毒的小编耍了
别走！后面有料！

没有高铁的春运难题

一个人，去一个农家乐旅游，想要回到家乡长春，应该怎么回去？
那个人画了这张图：

真是一个简洁的图表

图上	意思	它是什么？
数字	时间	权重
点	城市	节点
箭头	方向	边（有向）

转换为dict

graph = {
    'start.': {'Beijing': 5, 'TrainStation': 0, },
    'Beijing': {'ShanHaiGuan': 15, 'ShenYang': 20, },
    'ShanHaiGuan': {'ChangChun': 20, },
    'TrainStation': {'ShanHaiGuan': 30, 'ShenYang': 35, },
    'ShenYang': {'ChangChun': 10, },
    'ChangChun': None,
    }

用来存储父节点和花销的散列表类似于这样：

costs = {
    'Beijing': 5,
    'ShanHaiGuan': float('inf'),
    'TrainStation': 0,
    'ShenYang': float('inf'),
    'ChangChun': float('inf'),
    }
 
parents = {
    'Beijing': 'start.',
    'ShanHaiGuan': None,
    'TrainStation': 'start.',
    'ShenYang': None,
    'ChangChun': None,
    }

这只是为了方便让您看懂。costs和parents散列表（dict）无需手动实现，下面会告诉您如何自动根据graph生成对应的初始化的costs和parents。

Let's GO！

算法实现：

def find_quickest_way(graph, start, finish):
    # 根据图生成花销表
    costs = {}
    for k, v in graph.items():
        using_parents = graph[start]
        costs.update(using_parents)
        if k != start:
            if k not in using_parents.keys():
                costs[k] = float('inf')

    # 生成初始父节点表
    parents = {}
    for k, v in costs.items():
        if v == float('inf'):
            parents[k] = None
        else:
            parents[k] = start

    # 用来存储处理过的节点
    processed = []

    # 最近的节点
    node = find_nearest_station(costs, processed)

    # 开始狄克斯特拉算法
    while node is not None:
        # 如果最快的点是终点，则表明算法结束了
        if node == finish:
            break
        # 通向这个节点的花销
        cost = costs[node]
        # 所有可以连接到的点
        neighbours = graph[node]
        for t, c in neighbours.items():
            # 新的花销
            new_cost = cost + c
            # 如果花销更小，使它的这个邻居成为子节点
            if new_cost < costs[t]:
                costs[t] = new_cost
                parents[t] = node
            # 处理过了
            processed.append(node)
        # 最近的节点
        node = find_nearest_station(costs, processed)

    # 返回子父节点表
    return parents


def find_nearest_station(costs, processed):
    """傻瓜算法， 找到最快速的节点"""
    lowest_cost = float('inf')
    lowest_node = None
    for k in costs.keys():
        if costs[k] < lowest_cost and k not in processed:
            lowest_cost = costs[k]
            lowest_node = k
    return lowest_node

测试一下！

line = ['ChangChun']
# graph散列表见上文“没有高铁的春运难题：转换为dict”
my_parents = find_quickest_way(graph, 'start.', 'ChangChun')

while True:
    parent = my_parents[line[0]]
    line.insert(0, parent)
    if parent == 'start.':
        break

print(*line, sep=' => ')

start. => Beijing => ShenYang => ChangChun

Process finished with exit code 0

成功！

还记得最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法这个文章吗？在开头提到过。这里面还有一个很好用的算法Floyd算法。