一、基本思路

与回溯法一样，分支限界法也是在问题的解空间树上搜索问题的解的一种算法。

二、分支限界法与回溯法的区别

两者很类似，很容易混淆，但有如下显著的区别可区分两者：

1、求解目标不同

回溯法的求解目标一般是找出解空间树中满足条件的所有解。

分支限界法则是尽快找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。

2、搜索方式不同

回溯法——>深度优先 遍历结点搜索解空间树。

分支限界法——>广度优先或最小耗费优先搜索解空间树。

3、存储空间不同

分支限界法由于加入了活结点表，所以存储空间比回溯法大得多。因此当内存容量有限时，回溯法的成功率要大一些。

4、扩展结点的方式不同

分支限界法中，每个活结点只有一次机会变成扩展结点，一旦成为扩展结点便一次性生成其所有子结点。

区别小结：回溯法空间效率更高，分支限界法由于只需要求到一个解，所以往往更“快”。

就拿0/1背包问题做例子，回溯法求解0/1背包问题实际上是盲目地搜索解空间树，回溯法只会不断地往下走，虽然通过剪枝函数能减少一定的计算，但是当经过一个结点时，并不知晓其子结点会是怎样的情况，从而盲目继续搜索。而分支限界法则不一样，在经过某一结点时，会根据限界条件判断其结点之下的情况是否能够导出最优解，如若不能，直接不走这条路。这样虽然在空间上不占优势，但是搜索并不盲目，速度上快了很多。

三、求解步骤

1、定义解空间（对解编码）

2、确定解空间树结构（得解空间树）

3、按BFS广度优先方式搜索解空间树：

（1）：每个活结点只有一次机会变成扩展结点。
（2）：由扩展结点生成一步可达的新结点。
（3）：在新结点中删除不可能导出最优解的结点（限界策略，利用限界函数）。
（4）：将剩余新结点加入到活结点表中。
（5）：在活结点表中再取每个结点（按顺序）进行扩展（分支策略）。
（6）：直到活结点表为空。

注：活结点表通常采用堆结构，当求解极大值问题时用大顶堆，极小值问题时用小顶堆。

四、三个重要的函数

1、约束函数：问题定义时需给出的约束条件，如0/1背包问题不能超过其容量。

2、目标函数：是问题要求解的目标函数，分支限界法中需给出一个关于该函数的上下界，方便之后剪枝。

3、限界函数：用于记录当前结点之下可得的最优值，若超出上下界，则可放弃该结点；还用于活结点表中结点排序，限界函数值最优的在第一位，优先扩展遍历。

五、分支限界法的分类

1、队列式分支限界法：在活结点表中，按照FIFO先进先出原则选取下一个结点做扩展结点。

2、优先队列式分支限界法：活结点表中的每个结点对应了一个耗费或收益（其实就是如果扩展该结点，会带来多大的效益），以此决定结点的优先级。

六、经典案例问题

0/1背包问题、单源最短路径问题、最优装载问题。