向量

在 3D 笛卡尔坐标系，一个顶点，就是 XYZ 坐标空间上的一个位置。而这个位置是由一个唯一的 XYZ 定义的，而这样的 XYZ 就是向量。

• 标量：只有大小，没有方向。
• 矢量：既有大小，又有方向（有方向的标量）

向量的模计算公式：

单位向量

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)，分别称为 X 轴，Y 轴，Z 轴上的单位向量。

如果一个向量不是单位向量，而我们把它缩放到 1，这个过程叫做标准化。（x, y, z）,x,y,z不全为0，它的标准化计算：

向量点乘

对于向量 A = (x1, y1, z1) ，向量 B = (x2, y2, z2), 则向量A点乘向量 B：

A·B = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2

同时有

A·B = |A||B|Cosθ

以上可见，向量的点乘结果为一个标量，即一个数值。向量点乘符合乘法交换律，即：A·B = B·A。

OpenGL 对于点乘相应的 API：

//1.m3dDotProduct3 函数获得2个向量之间的点乘结果;
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

//2.m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量之间夹角的弧度值; 
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

向量叉乘

• 向量 A 叉乘 B 的结果为一个新的向量C;
• 且向量 C 的长度：|C| = |A||B|Sinθ;
• 向量 C 的方向垂直于向量 A 且垂直于向量 B，即垂直于 A,B 形成的平面。

A x B = C

OpenGL 对于叉乘相应的 API：

//1.m3dCrossProduct3 函数获得2个向量量之间的叉乘结果得到一个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const M3DVector3f v);

OpenGL 中的向量

有两个数据类型：

• M3DVector3f 表示一个三维向量（x, y, z）
• M3DVector4f 表示一个四维向量（x, y, z, w）

代码示例：

//三维向量
M3DVector3f[3] vVertex = {0, 0, 1};

//四维向量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};

//声明一个三分量顶点数组，例如⽣成一个三⻆形
M3DVector3f vVerts[] = {
                                        -0.5f,0.0f,0.0f, 
                                        0.5f,0.0f,0.0f, 
                                        0.0f,0.5f,0.0f
};

矩阵（Matrix）

矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

分类

• 行优先矩阵：逐行读取
• 列优先矩阵：逐列读取
• 行优先矩阵经过转置可得到列优先矩阵

例如：一个3x4 的数组：

通过行优先机制的编译器，意思为优先保留第1行的所有元素

通过列优先机制的编译器，意思为优先保留第1列的所有元素

单元矩阵

• 主对角线上数据都是1，其余元素都是0
• 向量 X 单元矩阵 = 向量，不会发生任何变化

矩阵的点乘

• 两个矩阵的行数和列数必须相等才能进行点乘
• 两个矩阵相乘，结果为两个矩阵对应元素相乘组成的矩阵，即

矩阵的叉乘

• 两个矩阵叉乘必须满足第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等
• 矩阵叉乘不满足交换律

OpenGL 中的矩阵

在其他编程标准中, 许多矩阵库定义一个矩阵时，使⽤二维数组；OpenGL 的约定里，更多倾向使⽤一维数组；这样做的原因是: OpenGL 使用的是 Column-Major(以列列为主)矩阵排序的约定。

OpenGL 中的 4x4 的矩阵，每一列都是由4个元素组成的向量，第一列表示x轴方向，第二列表示y轴方向，第三列表示z轴方向，第四列表示交换位置

一个4*4矩阵是如何在3D空间中表示一个位置和方向的，列向量进行了特别的标注:矩阵的最后一⾏都为0，只有最后一个元素为1。

初始化一个单元矩阵

1. 通过GLFloat定义一个一维数组

GLfloat vMatrix[] = {
        1, 0, 0, 0, // X Column
        0, 1, 0, 0, //Y Column
        0, 0, 1, 0, //Z Column
        0, 0, 0, 1 //Translation
    };

2. 通过 M3DMatrix44f 创建

M3DMatrix44f m = {
        1, 0, 0, 0, // X Column
        0, 1, 0, 0, //Y Column
        0, 0, 1, 0, //Z Column
        0, 0, 0, 1 //Translation
    };

3. 通过 m3dLoadIdentity44f 创建

void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

矩阵变换

1. 数学角度

数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示

变换后顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
变换后顶点向量量 = 顶点 ✖ 模型矩阵 ✖ 观察矩阵 ✖ 投影矩阵

2. OpenGL 的维度

变换顶点向量量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
变换顶点向量量 = 投影矩阵 ✖ 视图变换矩阵 ✖ 模型矩阵 ✖ 顶点