线代--子空间和维度

作者: 倪桦 | 来源:发表于2022-07-18 00:34 被阅读0次

一个空间的基( $\color {skyblue} {\small \small{一组可以生成空间且线性无关的向量}}$ )中向量的个数，称为 $\color {red} {\small 维度}$ 。

二维欧几里得空间的维度为2，表示为 $dim(R^{2})=2$ ，意味着构成二维欧几里得空间的一组基包含两个向量，如最常使用的一组标准正交基就是由两个标准单位向量 $\vec e_{1} = (1,0)^{T}$ 和 $\ \vec e_{2}=(0,1)^{T}$ 组成的。
三维欧几里得空间的维度为3， $dim(R^{3})=3$
推广到 $n$ 维欧几里得空间，它的维度为 $dim(R^{n})=n$

由零向量 $O$ 构成的向量空间只包含一个元素就是零向量 $O$ 本身，对于这个空间来说，空间的基也只有一个，也是零向量 $O$ 本身。除此之外，任何的一个空间都有无数组基。

欧几里得空间的维度计算

从整个欧几里得空间来说，想知道一个空间的维度为多少，只需要找到空间中的一组基，看这一组基的向量个数是多少，就可以说这个空间对应的维度就是这组基的向量的个数。在欧几里得空间来说，欧几里得空间内的元素是包含有几个数字的有序实数元组，相应的它的空间的维度就是几维。如一个欧几里得空间内有一个元素 $\vec a = (1,2,3,4)$ ，可以看到这个元素是包含 $4$ 个实数的有序元组，所以可以推出这个元素所对应的欧几里得空间的维度为 $4$ 。

在具体的领域中对于具体的数据，欧几里得空间内有序实数元组中的数字对应的含义也可以是不同的，如一个二维欧几里得空间内的有序实数元组包含的数字可以表示为身高，体重；一个三维欧几里得空间内的有序实数元组内的3个数字分别代表数学成绩，语文成绩，英语成绩这样的具体数据，这些有序实数元组它们本身属于欧几里得空间，我们只是对这个空间表示什么进行定义。

向量空间的子空间的维度

对于一个二维欧几里得空间 $R^{2}$ 的子空间 $S$ 来说,子空间 $S$ 表示成二维平面中过原点的一条直线 $L$ ，在这条直线 $L$ 上的所有向量 $\vec w$ 其实都是包含有两个数字的( $\color {skyblue} {\small {如一个二维平面上过原点与x轴呈45^\circ角的直线上存在点\vec w(1,1)}}$ )；对于这个子空间来说，任何一个这条直线上的非零向量，都可以 $\color {red} {\small 生成}$ 这条直线(子空间)上的所有向量，所以这个非零向量本身就是这跟直线也就是整个二维空间子空间上的一组基，根据维度的定义，整个子空间的维度为 $dim(S) =1$ ；虽然这条直线上所有的点相应的都是包含有两个数字的有序实数元组，原因是这跟直线是镶嵌在二维欧几里得空间里的。

对于三维空间来说就有： $dim(R^{3})=3$
过原点的一个平面，是三维空间的一个子空间 $S_2$ ， $dim(S_2)=2$
过原点的一个直线，是三维空间的一个子空间 $S_1$ ， $dim(S_1)=1$
原点本身，是三维空间的一个子空间 $S_0$ ， $\color {red} {dim(S_0)=0}$ 。对于原点本身构成的这个空间 $S_0$ 来说，这个空间它没有无数组基，只有唯一的一组基也就是零向量 $O$ 本身。虽然这个空间 $S_0$ 有唯一的一组基，但是由于我们认为这个空间是没有任何自由度的，它被压缩在了只有唯一的一个位置，所以它的维度为 $0$ ，这是一种特殊情况。

由此需要注意辨析：
$\ \ \$ ①一个欧几里的空间的任何一组基，其中的向量个数都是相同的。
$\ \ \$ ②一个欧几里得空间的维度是固定的。
$\ \ \$ ③一个欧几里得空间中的每一个有序实数元组包含 $n$ 个元素，这个空间的维度不一定为 $n$ 。由子空间的概念可知，如一个二维欧几里得空间中的一条过原点的直线 $L$ 本身形成一个欧几里得空间 $S_1$ ，这个 $S_1$ 空间内的元素却都是包含2个数字的有序实数元组，但是它的维度 $dim(S_1) =1$ ，所以不能因为 $S_1$ 这个欧几里得空间中的元素是包含 $2$ 个数字的有序实数元组，就说这个空间的维度是2。

对于问题，被向量 $\vec u = (2,0,0); \vec v = (-1,0,0); \vec w = (0,0,1)$ 生成的空间的维度是多少？

首先这个3个三维的向量所生成的空间可能是二维的，也可能是一维的，只是镶嵌在一个三维空间中。所以具体要知道被向量生成的空间的维度是多少，还得看这个被生成的空间中的基包含多少个向量。

如果一组向量 $\vec v_{1},\vec v_{2},\cdots ,\vec v_{p}$ 可以生成 $n$ 维空间，则这组向量的一个子集，就是 $n$ 维空间的一组基。找子集的方法就是循环从这组向量中删除一个和其它向量线性相关的向量，或者说删掉一个可以表示成其它向量的线性组合的向量，直到保留下的向量都是线性无关的，这样我们就找到了这个 $n$ 维空间的一组基。

在这个问题中，生成空间的 $\vec u ,\ \vec v, \ \vec w$ 中，向量 $\vec u$ 和 $\ \vec v$ 是线性相关的， $\vec u = -2 \cdot \vec v$ ，所以可以删除 $\vec u$ （或 $\vec v$ ），这样剩下的向量 $\vec v$ 和 $\ \vec w$ 是线性无关的，所以被向量 $\vec u = (2,0,0); \vec v = (-1,0,0); \vec w = (0,0,1)$ 生成的空间的维度应为 $2$ 。