线代--广义向量空间

作者: 倪桦 | 来源:发表于2022-07-17 17:05 被阅读0次

线代--广义向量空间
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在大多数时候，我们关注的向量空间都是欧几里得空间，所以一般我们指的空间都默认是欧几里得空间，一般我们讨论的向量也是欧几里得空间里的元素(有序实数元组)。而区别于欧几里得空间的向量空间都统称为“广义向量空间”。

向量空间(vector base):一个集合，集合中的元素可以定义两种运算: 加法和数量乘法，并且这两种运算满足十条性质 #

$\color {darkred} {\small \textbf{ 欧几里得空间}} \ \ \ R^{n} \ \ \$ 是向量空间

广义向量空间

1、矩阵可以构成向量空间

所有2*2方阵(2阶方阵)，可以构成一个向量空间，这个空间内的向量(元素)，就是2*2的方阵。
其中对加法定义为：矩阵加法；数量乘法定义为：矩阵数量乘法。这两个基础运算可以满足“向量的十条性质”

进一步，所有的n阶方阵，都可以构成一个向量空间，但是如果把 2阶方阵和3阶方阵混在一起构成的空间却不是一个向量空间，因为在我们的这个加法(矩阵加法)和数量乘法(矩阵数量乘法)定义中，这个空间内的元素甚至无法进行加法运算: $\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ 无法相加。

推广到对于所有的 $m \times n$ 矩阵放在一起可以构成的向量空间，因为这些元素满足“向量的十条性质”。

2、多项式本身构成向量空间

对于所有的多项式本身，也可以构成一个向量空间:
$a_{p}x^{p} + a_{p-1}x^{p-1}+ \cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}$
定义这个空间内的加法:多项式加法；数量乘法：多项式乘以一个数。
示例: 如这个空间内的两个元素 " $a^{3} + 1$ " 和 " $a^{5} + a^{1}$ "进行加法运算结果为" ${a^{3} + 1 + a^{5} + a^{1}}$ "也还是一个多项式，满足对向量定义的十条性质。

综上:广义向量空间
所有的n阶方阵，构成一个向量空间
所有的m*n矩阵，构成一个向量空间
所有的多项式，构成一个向量空间
所有的某类函数，构成一个向量空间
所有的n维有序数元组，构成一个向量空间 $\to$ 欧几里得空间 $R^{n}$
构成空间的元素只要满足元素的加法运算和数量乘法运算在空间内地封闭性则这个空间就是向量空间。