这个主题依然来自爱德华·Lee 的《柏拉图和技术呆子》。

Lee这本书的前半部分和后半部分几乎没什么关系。前半部分讲计算机工程师的智慧，后半部分则是从理论上探讨计算机这种东西的局限性。但是这本书的内容非常重要，作者拥有一线的见识，而且下了很大的调研功夫，特别是这个后半部分。

它讲一个特别大的大道理，足以影响你的世界观和人生观。这个道理来自深刻的数学，但是距离我们每个人又都很近。

作者用由浅入深的方法说明，我们不需要多少数学知识，但是我们需要思考。

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工程师做的都是模型，计算机也是一种模型。但是对一个模型琢磨的久了，难免就会觉得它不仅仅是一个模型。

比如你可能会问，人脑……也是一台计算机吗？

这种问题跟工程师怎么报效祖国没啥关系。可是作为一种智识上的兴趣，每个人都会忍不住关注这些问题。这个问题涉及到“图灵机”、信息论和“哥德尔不完备性定理”，这里会给你一个统一的解释。

我们将通过计算机科学的眼光，理解这个世界。

在回答人脑是不是计算机之前，我们要先问一个更大的问题。

—— 这个宇宙是计算机吗？

有一种猜想认为我们以为的这个“现实世界”，其实是某个更高智能的计算机模拟 —— 我们其实是生活在一个网络游戏里。如果你觉得这个猜想太过离奇，我还可以换个说法：请问我们生活的这个现实世界，在理论上，可以用一台要多强大就有多强大的计算机来完全模拟吗？

这个问题可不仅仅是个好玩的思想实验。我们需要理解计算机的本性，并且跟真实世界的本性做一个对比。使用计算机视角，你会重新认识这个世界。

而你可能想不到，这一切要先从“实数”开始讲起。

1  “实数”的不可思议

每个中学生都学过各种“数” ——

“自然数”是 0，1，2，3，……

“整数”是自然数加上负的自然数：……-3，-2，-1，0，1，2，3……

“有理数”则包括了分数和小数，但要求必须是有限的、或者是无限但是必须循环的小数 —— 本质上，所有有理数都可以写成分数，也就是两个整数相除：1/2，1/3，4/3 ……

在说实数之前，我先问你一个问题。你说到底是自然数多呢？还是自然数里的“偶数”多呢？

人的直觉反应肯定是自然数比偶数多。偶数 —— 0，2，4，6，8，……—— 只是自然数的一部分，自然数里还有1，3，5，7这些奇数，整体肯定比部分多啊。但是请注意，自然数和偶数都有*无限多*个。无限多的两种东西，怎么比较多少 —— 无限大和无限大到底哪个大，这是一个问题。

德国哲学家格奥尔格·康托（Georg Cantor）曾经为此思考了整整12年。大概是1874年，康托提出，自然数、自然数中的偶数、甚至一切有理数，都是一样多的。

康托的洞见在于两个集合的元素如果能一一对应，那这两个集合的元素个数就一样多。

每个偶数除以2就是一个自然数，偶数和自然数可以一一对应 ——

0——0,

2——1,

4——2,

6——3,

……

同样道理，全体整数的个数也和自然数的个数是一样多的，因为我们可以把整数按照一定的规律“数出来”，也就建立了跟自然数的一一对应 ——

0——0，

-1——1，

1——2，

-2——3，

2——4，

-3——5,

3——6,

……

数学上这叫“可数”。一个包含无限个元素的集合只要是“可数”的，它就能跟自然数一一对应，它的元素个数就跟自然数一样多。

事实上，有理数的集合也是可数的。比如我们可以按照下面这张表格，把全体有理数列举出来 ——

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无非就是把每个有理数都写成分数的形式，然后根据分子、分母的数字决定它在表格上的位置。只要按照图中箭头的方式，我们就可以把全体有理数数一遍。你一边数着有理数，一边数着自然数，这就建立了一一对应的关系：所以有理数也和自然数一样多。

现在轮到“实数”了。所有有理数都是实数，而实数还包括“无理数”，也就是小学老师所谓的“无限不循环小数”。无理数的特点是不能写成分数的形式，也就是不能用两个整数相除得到。比如根号2和圆周率π就都是无理数。

具体怎么证明我就不说了，但是数学上有个结论：无理数，是“不可数”的。

也就是说，实数不能跟自然数做一一对应。虽然自然数和实数都有无限多个，但是这两个无限不是一个级别 —— 实数比自然数要多得多。如果你说自然数是“无穷多”，那实数就是“不可思议的多”。

好，今天的数学就这么多。你可能会说，这些都是一百多年前的人就知道的数学，现在对很多人来说都是常识，那说这些有啥意义呢？

意义就在于，实数是不可数的，而计算机的一切，都是可数的。

2  计算机的本质

咱们先约定一下。这个系列里凡是说“计算机”，就都特指我们现在都在用的、基于图灵机的这种寻常的计算机。如果我想说另一种会做计算的机器，那就叫“机器”。

理论上讲，只要有足够多的内存、给足够多的时间，一台计算机就可以完成任何“算法”。但是计算机对算法有三个要求。这些要求就决定了，计算机和真实世界似乎是有区别的。

第一个要求是算法必须是“数字化”的。计算机所有的输入和输出，中间计算过程中涉及到的所有数，都必须是能用有限多个数字描写。也就是说要么是整数要么是有限位的小数。换句话说计算机只能处理有理数。

比如说圆周率π。计算机里没有真正的圆周率。你要输入圆周率，只能输入一个有限位的近似的小数，3.141592653……到一定长度你必须停下。你可以用计算机把圆周率算到任意精度，但是总要在算到某一位的时候停下来。只要你停下了，你算的那个数就是一个有理数，而不是真正的π。

第二点要求是，算法是一步一步的。计算机不能算*连续*。所有计算机程序都按照“步”运行，这一步干什么、下一步干什么。你要模拟一个足球的运动，必须先把时间和空间分成若干“小步”，让足球每次走一步。当然你可以把步分得很细 —— 但是一旦确定了步，一步就是一步，没有“半步”的中间状态。

这是因为计算机的底层是一个开关网络。晶体管要么是开要么就是关，没有半开半关的状态。

真实世界好像不是这样的。你挥一挥手，让手从A点到达B点，这应该是一个连续的运动 —— 你的手似乎应该经历了从A点到B点之间每一个距离数字 —— 其中既有有理数也有无理数。而计算机模拟的你的手，只能经历有理数。

第三点要求是，图灵机必须停机。给一个算法，它一定要算出一个结果来。从这个意义上讲现在的计算机都不是严格的图灵机。比如我们用的个人电脑的操作系统，在理论上都可以永远不停机。你还可以跟电脑做交互式的操作，这就更不是图灵机了。而真实世界，当然也是交互的。当然电脑里运行的每一段代码，都符合图灵机的要求。关于图灵机的停机问题我们先不细说。

那么根据这些要求，计算机程序就一定是有限长的、而且是数字化的操作。事实上，所有计算机程序都可以翻译写成由0和1组成的代码，硬件层面就是这么操作的。

所以计算机程序必定是可数的。比如我们可以按照下面这个方法列举所有的计算机程序 ——

0

1

01

10

00

11

000

001

……

规则是按照长度，在每个长度下列举0和1的所有排列组合。当然其中很多代码根本就不是正确的计算机程序，但这我们不在乎，我们只要确保这个数法已经包含了所有可能的计算机程序就行。

所以说，计算机程序的集合，是个可数的集合。那计算机能做的事情，就是可数的。

那请问，真实世界里的事情也是可数的吗？真实世界里有没有实数呢？

如果真实世界里有些不可数的事情，如果真实世界里有些数必须是实数，那计算机怎么可能完全模拟真实世界呢？

3  再论信息论

什么是信息呢？信息就是意外，信息就是你克服了多少不确定性。可供选择的范围越广，这个选择的信息量就越大。这里就不纠缠于香农信息熵的数学细节了，但是这个思想需要强调一遍。

每个人都知道写在纸上的字是信息，但是这个信息的本质是做选择。比如你用英文给我写一封信，你无非就是在26个字母、10个阿拉伯数字再加上一些标点符号中做选择。你写的每个字都是从这几十个字符中选取了一个 —— 你是在几十个选项之中选择了一项，你克服了这么大的不确定性。

再比如说，我知道有五个候选人在竞争一个位置，但是我不知道是谁当选了。你告诉我当选者的名字，这个名字的信息，就比几十个字符之中给我一个字符要少得多 —— 因为你克服的不确定性只有1/5。我胡乱猜，也有1/5的可能性猜对。

所以信息量的大小、给信息量编码需要用到多少个“比特”，都取决于背后选项的多少。正所谓你“说了”什么不重要，重要的是你“能说”什么。

现在假设有一条一公里长的铁路线，咱俩负责维护。有一天，铁路线上出了线路故障。你去探测了，告诉我故障发生在第702米的地方。请问这个信息量有多大？一公里一共有一千米，你给我的是千里挑一的信息，这个信息量比五个人中选一个人要大得多。

要给这样的信息编码，我们就要把铁路线分为一千段，给每一段一个编码。下次不管哪里出事，我们都可以报一个编码。

好，现在上级要求提高精度，说必须得精确到厘米，比如说你得报告故障发生在第702.32米的地方。要给这么高精度的信息编码，我们就必须把铁路线分成10万段，这个编码量就大大增加了。

那我们知道，从0到1000米的这条线段上不但有整数有小数，还有更多的、不可思议地多的无理数 —— 那如果故障发生地点是一个无理数，请问你怎么编码呢？

答案是无法编码。描写一个无理数，比如104.298730472840382048……（永不停止、永不循环）需要无限的精度！

有些无理数，像根号2和圆周率，可以用文字说明，我们可以报告上级故障发生在“π”米处，上级一听也能明白。但绝大多数无理数根本无法用文字描写！对于一个无法用文字描写的、出现在0和1000之间的任意的无理数，你怎么给它编码呢？从理论上讲，在连续实数集上的精确信息是不可编码的，“信息熵”的概念也不再适用了。

说到这里你可能要抗议了。你说我们根本就不需要用无理数标记位置，我们有限的精度就已经够用了啊！的确是这样。日常生活中的任何测量都有误差。不管你是702米，还是精确到702.0567287米，只要你停止了，就留有一定的误差。精确到小数点后第七位，就表示有0.0000001米的误差。

早在1948年那篇提出信息论的论文里，香农就已经注意到无限精度的测量信息不可编码，但是有噪音的、有误差的测量信息可以编码 —— 现在我们把这个理论称为 “信道容量定理（channel capacity theorem）”。

所以我们的生活应该不受影响，毕竟凡是人为取用的信息都有误差，那就都可以数字化和信息化。

但是从理论上来说，如果真实世界是一个连续的实数系统，它就不可能用一个数字化的信息系统完全描写。

但是现在有很多人相信，真实世界根本就不是建立在实数上的！

4  数字宇宙假说

如果空间和时间都是连续的东西，无限可分，那真实世界就必须有无理数。但如果空间和时间本来就是不连续的呢？比如说，也许空间上存在一个最小的距离尺度，比这更小就没意义了。也许这个宇宙的空间就好像电脑屏幕一样，有一个分辨率 —— 当然它的分辨率非常非常高，但是是有限的。

这就是所谓“数字宇宙假设”。我们专栏一直说宇宙必定是“数学”的，但我们可没说宇宙必定是“数字”的。“数学宇宙”允许无理数，如果有无理数就不可编码 —— 而“数字宇宙”是建立在有理数上的，它在本质上就可以用计算机编码。

在数字宇宙里，空间是一格一格的，时间是一步一步的，都是不连续的。而我们现在所有的物理定律都假定时空是连续的、里面有微分方程，假设时空无限可分 —— 所以这些物理定律都是柏拉图世界的想象，必须改写。

学者们对数字宇宙有不同的信仰，Lee 把这些信仰按照从弱到强的顺序，分为五级 ——

第一级认为这个世界可以用有限多的数字信息来进行完整的编码。

第二级认为这个世界里的一切都是信息。

第三级认为这个世界里的一切物理过程都是计算。

第四级认为这个世界就是一台计算机。

第五级认为这个世界不但是一台计算机，而且就是某个高级智能的一个计算机模拟 —— 我们都生活在网络游戏里。

这些级别的细微差异代表严格的数学和哲学思辨，咱们就不仔细追究了。那这个听起来很玄乎的假设，到底有没有可能是真的呢？答案是，有可能证明，但不可能证伪。

如果你能证明，空间的确有一个不能再分的、最小的尺度，那你就证明了数字宇宙假设。现在费米实验室有个装置叫“Holometer”，就打算做这件事。它使用和探测引力波的 LIGO 装置类似的原理，通过激光干涉来测量距离的变化，它的目标是发现空间的最小尺度。

也许有一天早上起来，你就会听说费米实验室发现我们这个宇宙的空间有个极限尺度！那将是一个无比重大的新闻，说明空间不是连续变化的 —— 说明这个世界完全是由有理数组成的！……也说明我们很可能是生活在计算机模拟之中。

考虑到微观世界的物理学，把基本粒子再做细分并没有多大实际的意义，基本粒子的尺度是有限的。但是空间本身可不可以无限细分，这个问题还没有答案。如果人类的实验精度永远都发现不了空间的最小尺度，那你能说空间*没有*最小尺度吗？你不能。所以说数字宇宙是个不可证伪的理论。如果你信仰数字宇宙，你可以永远坚持这个信仰。

而你猜怎么着？在认真思考过数字宇宙假设的学者之中，相信的人是主流，不信的人是少数。

为什么这些学者非得相信宇宙是数字的？也许因为数字化的世界更容易接受。计算机世界是数字化的，而计算机是人能造的东西，我们完全接受数字化的世界。但是 Lee 可不信。当然 Lee 也没有足够的证据，他只是觉得真实世界应该比一个由有理数组成世界更丰富一些。

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你相信数字宇宙吗？我没有特别强烈的信仰，但我的确更喜欢存在无理数的世界。

不过我们仔细想想，无理数这种东西，的确是很难跟真实世界联系起来。我觉得也有可能无理数是来自柏拉图世界的一种想象的东西。

比如说根号2吧。我现在还记得，第一次学到根号2这个无理数的时候，感到了世界观的危机。我就想，你画一个等腰直角三角形，两个直角边的边长是1米，斜边长度就是根号2米，对吧？那我就拿一个尺子去量斜边的长度，我肯定能量出一个普通的数来啊？根号2怎么可能就是一个怪异的数呢？

现实生活中尺子的精度总是有限的，所以你只能测量出一个寻常的数字。可是理想中的根号2，却是个永远都不会终止的数！

难道我们这个世界真的需要这样的数吗？这个问题可不仅仅涉及到世界观，而且还能影响你的人生观。但只有在一个实数的世界里，人生才有无穷多丰富的意义 —— 诗人，需要无理数。