二进制的原码、反码和补码

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目录

• 反码

• 补码

  • 重新回来

  • 如何得到补码？

  • 补码转为十进制

  • 补码系统的数字表示方式

  • 补码系统的用处

  • 补码的原理

• 参考内容

重新回来

目前是一名在校的大一学生，有时想写些内容出来，但苦于脑子里没东西。提笔又落笔，迟迟没有内容产出。想起之前我还在这个公众号里立下说：每天一篇文章。诶，又抬头看了看这个公众号的名字，诶。

接下来，打算重拾公众号，尝试输出内容。另外，公众号的介绍也修改了：

前端初学者、设计门外人，一切才刚刚开始…

经过一段时间的思考和了解后，我把自己定位为「全栈偏前端软件工程师」，但是毕竟这条路没有走过，具体能走到哪一步，未来具体如何不是很清晰。不过现在先踏踏实实从前端入手，一点点搭建自己的神经网络。

本篇内容讲一讲计算机的一些基础：

反码

简单说：

• 正数的反码等于其原码。

• 负数的反码，是保留其符号位后，其余各位原码的数值取反的结果，也就是 0 变为 1，1 变为 0。

补码

在计算机系统中，数值一律使用补码来表示和存储。

1、如何得到补码？

简单说就是把原二进制码，先按位取反（0 变 1，1 变 0）后，再加 1。

下面用「有符号 4 位二进制」来举个例子：

二进制到补码.png

最后的结果可以看到，这个数字的最高位为 1，确实是负数。一个正数的补码也就是相对应的负数。要是我们反过来运算：

补码到二进制.png

也就是一个负数的补码就是其对应的正数。

补码转为二进制原码，也可以先减 1，再取反。

简单总结为：a 的补码就是 -a （a 可以是正负数）

不过有两个数的补码等于本身：一个是 0，另一个是该「有符号位的二进制」所能表示的最大负数（100……）

2、补码转为十进制

直接举例说明：

补码转十进制.png

补码转十进制的规则，也就是除了「最高位」外，「其他位」对应数字的处理和一般二进制相同。如果「最高位」为 1，那么它表示的数字为 -2^(n−1)，n 代表位数，最终将各个结果相加就是十进制数了。

3、补码系统的数字表示方式

上面举例介绍了如何得到补码。现在来说说「补码系统」中的数字是如何表示的：

• 正数和 0：补码数字与二进制一样，同时最高位的恒为 0。

  • 所以 4 位的最大补码正数为 0111（7）

• 负数：得到补码的步骤上文提过了，这个数字的最高位恒为 1。

  • 所以 4 位的最小补码负数为 1000（-8）

那么补码数字所能表达的数字范围为：

最大最小.png

比如 8 位的补码数字，可以表示范围为：-128~127。

为什么最大值要减去一个 1？有符号位的 n 位二进制可以用来表示两组数，一组是大于等于 0，另一组小于 0。

因为 0 的存在，所以需要减去一个 1。

4、补码系统的用处

不是说计算机是用二进制的吗？干嘛要搞一个「补码系统」？

补码系统的最大优点是可以在处理加减乘除法时只用一种加法电路。

我们先来试试用反码来计算减法：

反码减法.png

答案正确啊。那我们继续看看反码的特殊情况：

反码减法二.png

这就出现问题了，出现了 -0 这种情况。虽说 -0 和 +0 应该都是 0。但是 0 带着符号是没有任何意义。

解决这个问题，就需要补码了：

补码减法.png

正好可以计算出 -1 这个答案。

这里没有演示原码的减法，你不如动手去试试。

5、补码的原理

维基百科中是这样说的：

指定 n 位长，那么就有 2^n 个可能的值，加减法运算都存在上溢出与下溢出的情况，实际上都等价于「模 2^n」的加减法运算。这对于 n 比特无符号整数类型或是 n 比特有符号整数类型都同样适用。

嗯。

看了一堆写原理资料，还是没怎么搞懂，总之原理和余数的思想有关。

所以我现在所处的阶段是：知其然，「知其所以然」得还不怎么透彻。

但是我还是要讲一讲。

看了阮一峰的网络日志《关于2的补码》这一篇文章后，觉得文章中的解释还是十分清晰的。那我就用几张图来说明一下。在一个 4 位的二进制中，进行 5 - 6 的运算，我们可以把 5 - 6 转化为 5 + (-6)。

5 + (-6).png

我们已经分别知道 5 和 6 的原码，要得到 -6 我们可以用 0 - 6 得到 -6 的二进制码：

0-6.png

但是 0 根本不够减啊。那我们想想，在做十进制减法的时候，要是这一位不够减，怎么办，答案是问上一位借一个 1。那 0000 去借一位 变为 1 0000 ：

1000-0110.png

我们又注意到，1 0000 其实是可以用 1111+ 1 来表示的，那把算式变为：

补码原理最后一步.png

第一步操作就相当于是按位取反，第二步再 +1，这个过程和得到反码的步骤完全一致。

参考内容

• 阮一峰的网络日志：http://www.ruanyifeng.com/blog/2009/08/twos_complement.html

• 维基百科英文词条：https://en.wikipedia.org/wiki/Two%27s_complement

• 维基百科中文词条：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E8%A3%9C%E6%95%B8

• 极客时间「程序员的数学基础课」中的「课外加餐（一）」

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