MCMC using Hamiltonian dynamics

作者: 馒头and花卷 | 来源:发表于2020-01-05 14:52 被阅读0次

MCMC using Hamiltonian dynamics
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MCMC
MCMC

Neal R. M. , MCMC Using Hamiltonian Dynamics[J]. arXiv: Computation, 2011: 139-188.

@article{neal2011mcmc,
title={MCMC Using Hamiltonian Dynamics},
author={Neal, Radford M},
journal={arXiv: Computation},
pages={139--188},
year={2011}}

Hamiltonian Monte Carlo-wiki

算法

先把算法列一下.

Input: 初始值 $q$ , 步长 $\epsilon$ 与leapfrog迭代次数 $L$ .

令 $q^{(0)} = q$ ;
循环迭代直到停止条件满足(以下第 $t$ 步):

从标准正态分布中抽取 $p$ , $q = q^{{(t-1)}}$ , $p^{(t-1)} = p$ .
$\tag{alg.1} p = p- \epsilon \nabla_q U(q) / 2,$
重复 :
- $\tag{alg.2} q = q + \epsilon \nabla_pH(p),$
- 如果 $i \not = L$ :
  $\tag{alg.3} p = p- \epsilon \nabla_q U(q).$
$\tag{alg.4} p = p- \epsilon \nabla_q U(q) / 2, \quad p^* = -p, q^*=q.$
计算接受概率
$\tag{alg.5} \alpha = \min \{ 1, \exp(-H(q^*,p^*) + H(q^*, p^*)\}.$
从均匀分布 $U(0,1)$ 中抽取 $u$ , 如果 $u<\alpha$ , $q^{(t)}=q^*$ , 否则 $q^{(t)}=q^{(t-1)}$ .

output: $\{p^{(t)},q^{(t)}\}$ .

注: 1中的标准正态分布不是唯一的, 但是文中选的便是这个. 4中的 $p^*=-p$ 在实际编写程序的时候可以省去.

符号说明

因为作者从物理方程的角度给出几何解释，所以这里给出的符号一般有俩个含义:

符号	概率	物理
$q$	随机变量，服从我们所在意的分布	冰球的位置
$p$	用以构造马氏链的额外的变量	冰球的动量(mv)
$U(q)$	...与我们所在意的分布有关	冰球的势能
$K(p)$	...	冰球的动能
$H(q, p)$	与我们所在意的分布有关	$H(q, p) = U(q) + K(p)$

Hamilton方程

物理解释

Hamilton方程( $i=1,2,\ldots, d$ , $d$ 是维度):
$\tag{2.1} \frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}$
$\tag{2.2} \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$

这个东西怎么来的, 大概是因为 $H(q, p) = U(q)+K(p)$ , 如果机械能守恒, 那么随着时间 $t$ 的变化 $H(q, p)$ 应该是一个常数, 所以其关于t的导数应该是0.
$\frac{dH}{dt} = \sum_i [\frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{dp_i}{dt}+\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{dq_i}{dt}] = (\nabla_p H)^T \dot{p}+(\nabla_qH)^T \dot{q} = 0,$
其中 $\dot{p}=(\partial{p_1}/\partial t, \ldots, \partial p_d / \partial t)$ .
而 $(2.1)$ , 左边是速度 $\dot{q} = v$ , 右边
$\nabla_p H = \nabla_p K = \nabla_p \frac{|p|^2}{2m} = \frac{p}{m} = v=\dot{q}.$

不过，估计是先有的(2.2)再有的H吧, 就先这么理解吧. 需要一提的是, $K(p)$ 通常定义为
$K(p)=p^TM^{-1}p/2,$
其中 $M$ 是对称正定的, 后面我们可以看到, 这种取法与正态分布相联系起来.
此时:

在这里插入图片描述

一些性质

可逆 Reversibility

映射 $T_s: (q(t), p(t)) \mapsto (q(t+s), p(t+s))$ 是一一的，这个我感觉只能从物理的解释上理解啊, 一个冰球从一个点到另一个点, 现在H确定, 初值确定, 不就相当于整个轨迹都确定了吗, 那从哪到哪自然是一一的, 也就存在逆 $T_{-s}$ , 且只需:
$\frac{dq_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial p_i},$
$\frac{dp_i}{dt} = -(-\frac{\partial H}{\partial q_i}).$

H的不变性

即

在这里插入图片描述
当然, 因为我们的算法是离散化的, 所以这个性质只是在比较小的时候近似保持.

保体积 Volume preservation

即假设区域 $R=\{(q,p)\}$ 在映射 $T_t$ 的作用下为 $R_t=\{(q(t), p(t)\}$ , 则二者的体积相同, 均为 $V$ .

定义
$v(t)= \int_{R_t} dV = \int_{R} \det( \frac{\partial T_t}{\partial z}) dV,$
其中 $z = (q, p)$ . 又
$z(t) = T_tz = z+t J\nabla H(z) + \mathcal{O}(t^2),$
其中
$f:=\frac{dz}{dt} = J\nabla H(z), \\ J = \left ( \begin{array}{ll} 0_{d \times d} & I_{d\times d} \\ -I_{d\times d} & 0_{d \times d} \end{array}\right ).$
所以
$\frac{\partial{T_t}}{\partial z} = I + \frac{\partial f}{\partial z}t + \mathcal{O}(t^2),$
又对于任意方阵 $A$ ，

在这里插入图片描述
所以

且, 于是

又

对于, 我们都可以类似的证明, 所以是常数.

这部分的证明参考自

Here

辛 Symplecticness

在这里插入图片描述

离散化Hamilton方程 leapfrog方法

下面四幅图, 是 $U(q)=q^2/2, K(p)=p^2/2$ , 起始点为 $(q, p) = (0, 1)$ .

在这里插入图片描述

Euler's method

如果假定 $K(p) = \sum_{i=1}^d \frac{p_i^2}{2m_i}$ ,

在这里插入图片描述

Modified Euler's method

仅有一个小小的变动,

在这里插入图片描述

Leapfrog method

在这里插入图片描述
注意到, 在实际编写程序的时候, 除了第一步和最后一步, 我们可以将的俩个半步合并成一步.
另外从右下角的图可以发现, 因为离散化的缘故, 的值是有偏差的. 但是Leapfrog 方法和 modified Euler方法都是保体积的, 因为每步更新都只改变一个量, 可以验证其雅可比行列式为1.

MCMC

概率与Hamiltonian, 正则(canonical)分布

如何将分布于Hamilton方程联系在一起? 假如, 我们关心的是 $q$ 的分布 $P(q)$ , 则我们构造一个容易采样的分布 $P(q)$ ,
$\tag{3.2} P(q, p) = \frac{1}{Z}\exp(-H(q,p)/T),$
其中 $Z$ 是规范化的常数, $T$ 一般取1. 从(3.2)中容易得到 $H(q,p)$ . 事实上此时 $q, p$ 是独立的(这么写是说明直接构造 $P(q, p)$ 也是可以的), 则可以分别
$P(q) = \frac{1}{Z_1}\exp(-U(q)/T), \\ P(p) = \frac{1}{Z_2}\exp(-K(p)/T).$
在贝叶斯统计中, 有
$U(q) = -\log [\pi (q) L(D|q)],$
其中 $D$ 为数据, $L$ 为似然函数, 与文章中不同, 文章中是 $L(q|D)$ , 应该是笔误.

HMC算法

就是开头提到的算法, 但是其中有一些地方值得思考. (alg.4)我们令 $p^*=-p$ , 这一步在实际中是不起作用的, 既然 $K(p)=K(-p)$ 而且在下轮中我们重新采样 $p$ , 我看网上的解释是为了理论, 取反这一部分使得proposal是对称的, 是建议分布 $g(p^*, q^*|p, q)=g(p, q| p^*, q^*)$ ? 不是很懂.

关于这个问题的讨论

有点明白了, 首先因为Leapfrog是确定的, 所以 $P(q^*, p^*|q, p)$ 非0即1:
$P(q^*, p^*|q, p) = \delta(q^*,p^*,q,p) = \left \{ \begin{array}{ll} 1, & T_{L\epsilon} (q, p) = q^*, p^*, \\ 0, & T_{L\epsilon} (q, p) \not = q^*, p^*. \end{array} \right.$
为了 $P(q^*, p^*|q, p)=P(q, p|q^*, p^*)$ , 如果不取反肯定不行, 因为他就会往下走, 取反的操作实际上就是在可逆性里提到的, 在同样的操作下, $q^*, p^*$ 会回到 $q, p$ . 于是MH接受概率就退化成了M接受概率. 但是前文也提到了, 取反的操作, 只有在 $K(p)=K(-p)$ 的情况下是成立的.

HMC保持正则分布不变的证明 detailed balance

假设 $\{A_k\}$ 是 $(q, p) \in \mathbb{R}^{2d}$ 空间的一个分割, 其在L次leapfrog的作用, 及取反的操作下的像为 $\{B_k\}$ , 由于可逆性, $\{B_k\}$ 也是一个分割, 且有相同的体积 $V$ (保体积性)，则
$P(A_i) T(B_j|A_i) = P(B_j)T(A_i|B_j).$
实际上 $i\not =j$ 是时候是显然的, 因为二者都是0. 因为 $H$ 是连续函数, 当 $V$ 变得很小的时候, $H$ 在 $X$ 区域上的值相当于常数 $H_X$ , 于是

在这里插入图片描述

所以(3.7)成立.

Detailed balance:

在这里插入图片描述
其中是当前状态属于, 拒绝提议的的概率. 注意. 看上面的连等式可能会有点晕, 注意到, 左端实际上是概率, 最右端是, 这样就能明白啥意思了.

遍历性 Ergodicty

马氏链具有遍历性才会收敛到一个唯一的分布上(这部分不了解), HMC是具有这个性质的, 只要 $L$ 和 $\epsilon$ 选的足够好. 但是如果选的不过也会导致坏的结果, 比如上面的图, $p^2+q^2=1$ , 如果我们选择了 $L\epsilon \approx 2\pi$ , 那么我们的Leapfrog总会带我们回到原点附近, 这就会导致比较差的结果.

HMC的一个例子及优势

下图是:

在这里插入图片描述
.

在这里插入图片描述

相关系数由 $0.95$ 改为 $0.98$ , $\epsilon=0.18, L=20$ , 随机游走取的协方差矩阵为对角阵, 标准差为 $0.18$ , HMC生成 $p$ 的为标准正态分布.

在这里插入图片描述

文章中提到, HMC较Randomwalk的优势在于，Randomwalk对协方差很敏感, 而且太大会导致接受率很低, 太小俩俩之间的相关性又会太高.

HMC在实际中的应用和理论

线性变换

有些时候, 我们会对变量施加线性映射 $q'=Aq$ ( $A$ 非奇异方阵), 此时新的密度函数 $P'(q') = P(A^{-1}q') / |\det (A)|$ , 其中 $P(q)$ 是 $q$ 的密度函数, 相应的我们需要令 $U'(q')=U(A^{-1}q')$ .

如果我们希望线性变化前后不会是的情况变得"更糟", 一个选择是 $p'=(A^T)^{-1}p$ ，则 $K'(p')=K(A^Tp')$ , 如果 $K(p) = p^TM^{-1}p / 2$ , 则

在这里插入图片描述
其中. 此时的更新会使得原先的的更新保持, 即

在这里插入图片描述
所以本质上按照原来的轨迹发生着变化.

设想, 我们对 $q$ 的协方差矩阵有一个估计 $\Sigma$ , 且近似服从高斯分布, 我们可以对其做Cholesky分解 $\Sigma=LL^T$ , 并且令 $q'=L^{-1} q$ , 则 $q'$ 的各分量之间就相互独立了, 那么我们很自然的一个选择是 $K(p)=p^Tp/2$ , 那么 $q'$ 的各分量的独立性能够保持.

另一个做法是, 保持 $q$ 不变, 但是 $K(p) = p^T \Sigma p / 2$ , 此时 $q'=L^{-1}q, p'=(L^{T})^{-1}p$ , 则相当于
$K(p')=(p')^T{M'}^{-1}p', \quad M' = (L^{-1}LL^T(L^{-1})^T)^{-1}=I.$
所以俩个方法是等价的.

HMC的调整 $\epsilon, L$

HMC对 $\epsilon, L$ 的选择比较严苛.

预先的实验

我们可以对一些 $\epsilon,L$ 进行实验, 观察轨迹, 虽然这个做法可能产生误导, 另外在抽样过程中随机选择 $\epsilon, L$ 是一个不错的选择.

stepsize $\epsilon$

$\epsilon$ 的选择很关键, 如果太大, 会导致低的接受率, 如果太小, 不仅会造成大量的计算成本, 且如果此时 $L$ 也很小, 那么HMC会缺乏足够的探索.

考虑下面的例子:

在这里插入图片描述
每一次leapfrog将映射为, 则

在这里插入图片描述
是否稳定, 关键在于系数矩阵的特征值的模(?还是实部)是否小于1, 特征值为

在这里插入图片描述
当的时候，(4.6)有一个实的大于1的特征值, 当的时候, 特征值是复制, 且模为:

在这里插入图片描述
所以, 我们应当选择.

在多维问题中, $K(p)=p^Tp/2$ ,如果 $q<0$ 且协方差矩阵为 $\Sigma$ , 我们可以取协方差矩阵的最小特征值(非零?)作为步长. 如果 $K(p)=p^TM^{-1}p/2$ , 我们可以通过线性变化将其转换再考虑.

tracjectory length $L$

如何选择 $L$ 也是一个问题, 我们需要足够大的 $L$ 使得每次的探索的足够的, 以便能够模拟出独立的样本, 但是正如前面所讲, 大的 $L$ 不仅会带来计算成本, 而且可能会导致最后结果在起点附近(由周期性带来的麻烦). 而且 $L$ 没法通过轨迹图正确的选择. 一个不错的想法是在一个小的区间内随机选择 $L$ , 这样做可能会减少由于周期性带来的麻烦.

多尺度

我们可以利用 $q$ 的缩放信息, 为不同的 $q_i$ 添加给予不同的 $\epsilon_i$ . 比方说在 $K(p)=p^Tp/2$ 的前提下, 应该对 $q_i$ 放大 $s_i$ 倍, 即 $q'= q / s_i$ ( $p$ 不变).

等价的, 可以令 $K(p) = p^TM^{-1}p / 2, m_i = 1/ s_i^2$ ( $q$ 不变), 相当于 $q_i'=q_i/s_i, p'=s_ip$ , 则
$m_i' = s_i (1/ s_i^2)s_i=1$ , 所以 $K(p')=(p')^Tp'/2$ . 这么做就相当于一次leapfrog为:

在这里插入图片描述

结合HMC与其它MCMC

当我们所关心的变量是离散的, 或者其对数概率密度( $U(q)$ )的导数难以计算的时候, 结合其它MCMC是有必要的.

Scaling with dimensionality

$U(q) = \sum u_i(q_i)$ 的情况

如果 $U(q)=\sum u_i(q_i)$ ，且 $u_i$ 之间相互独立(?), 这种假设是可行的, 因为之前已经讨论过，对于 $q$ 其协方差矩阵为 $\Sigma$ , 我们可以通过线性变化使其对角化, 且效能保持.

Cruetz指出, 任何的Metropolis形式的算法在采样密度函数 $P(x)=\frac{1}{Z}\exp(-E(x))$ 的时候都满足:

在这里插入图片描述
其中表现在的状态, 而表提议. 则根据Jensen不等式可知:

所以,

在 $U(q) = \sum u_i(q_i)$ 的情况下, 令 $\Delta_1:=E(x^*)-E(x)$ , $x=q_i, E(x)=u_i(q_i)$ 或者 $x=(q_i, p_i), E(x)=u_i(q_i)=p_i^2/2$ . 对于整个状态, 我们则用 $\Delta_d$ 表示, 则 $\Delta_d$ 是所有 $\Delta_1$ 的和. 既然 $\Delta$ 的平均值均为正, 这会导致接受概率 $\min (1, \exp(-\Delta_d)$ 的减小(随着维度的增加), 除非以减小步长作为代价, 或者建议分布的宽度进一步降低(即 $x,x^*$ 尽可能在一个区域内).

因为 $\exp(-\Delta_1) \approx 1 -\Delta_1+\Delta_1^2 / 2$ , 再根据(4.17)得:
$\tag{4.19} \mathbb{E} [\Delta_1] \approx \mathbb{E} [\Delta_1^2]/2.$

故 $\Delta_1$ 的方差约是均值的两倍( $\Delta_1$ 足够小的时候), 类似的也作用与 $\Delta_d$ . 为了有一个比较好的接受率, 我们应当控制 $\Delta_d$ 的均值在1左右(小于?), 此时 $\exp(-1)\approx0.3679$ .

HMC的全局误差(标准差)在 $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ 级别, 所以 $\Delta_1^2$ 应当在 $\epsilon^4$ 级别, 所以 $\mathbb{E}[\Delta_1]$ 也应当在 $\epsilon^4$ 级别, 则 $\mathbb{E}[\Delta_d]$ 在 $d\epsilon^4$ 级别上, 所以为了保持均值为1左右, 我们需要令 $\epsilon$ 正比于 $d^{-1/4}$ , 相应的 $L$ 为 $d^{1/4}$ .

文章中还有关于Randomwalk的分析, 这里不多赘述了.

HMC的扩展和变种

这个不一一讲了, 提一下

分割

假如 $H$ 能够分解成:

在这里插入图片描述
那么我们可以一个一个来处理, 相当于. 这个做法依旧是保体积的(既然每一个算子都是保体积的), 但是如果希望其可逆(对称), 这就要求这个有很多应用场景:

比如 $U(q) = U_0(q)+U_1(q)$ , 其中计算 $U_0$ 如果是容易的, 我们可以作如下分解:

在这里插入图片描述
此时有项, , , . 此时对于中间部分, 相当于步长变小了，误差自然会小.

当处理大量数据, 并用到似然函数的时候：

在这里插入图片描述

不过文章中说这个分解是不对称的, 可明明是对称的啊.

处理约束

有些时候, 我们对 $q$ 有约束条件, 比方 $q >v, q<w$ 等等, 直接给算法:

在这里插入图片描述

Langevin method, LMC

假设我们使用 $K(p)=(1/2)\sum p_i^2$ , $p$ 从标准正态分布中采样, 每次我们只进行一次leapfrog变计算接受概率, 即

在这里插入图片描述
以及其接受概率:

在这里插入图片描述

Windows of states

这个方法试图将 $H$ 的曲线平滑来提高接受率.

我们可以通过任意 $(q, p)$ 构造一列 $[(q_0, p_0), \ldots, (q_{W-1}, p_{W-1})]$ . 首先从 $\{0, 1, \ldots, W-1\}$ 中等概率选一个数, 这个数代表 $(q, p)$ 在序列中的位置, 记为 $(q_s, p_s)$ , 则其前面的可以通过leapfrog ( $-\epsilon$ )产生, 后面的通过leapfrog( $+\epsilon$ )产生. 所以任意列的概率密度为:

在这里插入图片描述

然后从 $(q_{W-1}, p_{W-1})$ 出发, 通过L-W+1步leapfrog( $+\epsilon$ )获得 $[q_W,p_W,\ldots, (q_L, p_L)]$ 并定义提议序列为 $[(q_L, -p_{L}), \ldots, (q_{L-W+1}, p_{L-W+1)}]$ ，计算接受概率:

在这里插入图片描述
其中. 设拒绝或者接受后的状态为:, 依照概率

在这里插入图片描述
抽取, 这个就是后的下一个状态.

文中说这么做分布不变, 因为:

在这里插入图片描述
如果没理解错, 前面的部分就是出现在最开始的序列中的概率, 但是中间的接受概率哪里去了？总不能百分百接受吧...

代码

import numpy as np
from collections.abc import Iterator, Callable
from scipy import stats

class Euler:
    """
    Euler方法
    """
    def __init__(self, grad_u, grad_k, epsilon):
        self.grad_u = grad_u
        self.grad_k = grad_k
        self.epsilon = epsilon

    def start(self, p, q, steps):
        trajectory_p = [p]
        trajectory_q = [q]
        for t in range(steps):
            temp = p - self.epsilon * self.grad_u(q)  # 更新一步P
            q = q + self.epsilon * self.grad_k(p)  # 更新一步q
            p = temp
            trajectory_p.append(p)
            trajectory_q.append(q)
        return trajectory_p, trajectory_q

    def modified_start(self, p, q, steps):
        """
        启动！
        :param p:
        :param q:
        :param steps:  步数
        :return: p, q
        """
        trajectory_p = [p]
        trajectory_q = [q]
        for t in range(steps):
            p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) #更新一步P
            q = q + self.epsilon * self.grad_k(p) #更新一步q
            trajectory_p.append(p)
            trajectory_q.append(q)
        return trajectory_p, trajectory_q

class Leapfrog:
    """
    Leapfrog 方法
    """
    def __init__(self, grad_u, grad_k, epsilon):
        self.grad_u = grad_u
        self.grad_k = grad_k
        self.epsilon = epsilon
        self.trajectory_q = []
        self.trajectory_p = []

    def start(self, p, q, steps):
        self.trajectory_p.append(p)
        self.trajectory_q.append(q)
        for t in range(steps):
            p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) / 2
            q = q + self.epsilon * self.grad_k(p)
            p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) / 2
            self.trajectory_q.append(q)
            self.trajectory_p.append(p)
        return p, q


class HMC:
    """
    HMC方法 
    start为进行一次
    accept_prob: 计算接受概率
    hmc: 完整的过程
    acc_rate: 接受概率
    """
    def __init__(self, grad_u, grad_k, hamiltonian, epsilon):
        assert isinstance(grad_u, Callable), "function needed..."
        assert isinstance(grad_k, Callable), "function needed..."
        assert isinstance(hamiltonian, Callable), "function needed..."
        self.grad_u = grad_u
        self.grad_k = grad_k
        self.hamiltonian = hamiltonian
        self.epsilon = epsilon
        self.trajectory_q = []
        self.trajectory_p = []

    def start(self, p, q, steps):
        self.trajectory_p.append(p)
        self.trajectory_q.append(q)
        p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) / 2
        for t in range(steps-1):
            q = q + self.epsilon * self.grad_k(p)
            p = p - self.epsilon * self.grad_u(q)
        q = q + self.epsilon * self.grad_k(p)
        p = p - self.epsilon * self.grad_u(q) / 2
        p = -p
        return p, q

    def accept_prob(self, p1, q1, p2, q2):
        """
        :param p1: 原先的
        :param q1:
        :param p2: 建议的
        :param q2:
        :return:
        """
        p1 = np.exp(self.hamiltonian(p1, q1))
        p2 = np.exp(self.hamiltonian(p2, q2))
        alpha = min(1, p1 / p2)
        return alpha

    def hmc(self, generate_p, q, iterations, steps):
        assert isinstance(generate_p, Iterator), "Invalid generate_p"
        self.trajectory_q = [q]
        p = next(generate_p)
        self.trajectory_p = [p]
        count = 0.
        for t in range(iterations):
            tempp, tempq = self.start(p, q, steps)
            if np.random.rand() < self.accept_prob(p, q, tempp, tempq):
                p = tempp
                q = tempq
                self.trajectory_p.append(p)
                self.trajectory_q.append(q)
                count += 1
            p = next(generate_p)
        self.acc_rate = count / iterations
        return self.trajectory


    @property
    def trajectory(self):
        return np.array(self.trajectory_p), \
               np.array(self.trajectory_q)

class Randomwalk:
    """
    walk: 完整的过程, 实际上Metropolis更新似乎就是start中steps=1, 
    一开始将文章的意思理解错了, 不过将错就错, 这样子也能增加一下灵活性.
    """
    def __init__(self, pdf, sigma):
        assert isinstance(pdf, Callable), "function needed..."
        self.pdf = pdf
        self.sigma = sigma
        self.trajectory = []

    def start(self, q, steps=1):
        for t in range(steps):
            q = stats.multivariate_normal.rvs(mean=q,
                                              cov=self.sigma)
        return q

    def accept_prob(self, q1, q2):
        """
        :param q1: 原始
        :param q2: 建议
        :return:
        """
        p1 = self.pdf(q1)
        p2 = self.pdf(q2)
        alpha = min(1, p2 / p1)
        return alpha
    
    def walk(self, q, iterations, steps=1):
        self.trajectory = [q]
        count = 0.
        for t in range(iterations):
            temp = self.start(q, steps)
            if np.random.rand() < self.accept_prob(q, temp):
                q = temp
                count += 1
            self.trajectory.append(q)
        self.acc_rate = count / iterations
        return np.array(self.trajectory)

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