思考
◼ 一个有序链表搜索、添加、删除的平均时间复杂度是多少?
O(n)
◼能否利用二分搜索优化有序链表，将搜索、添加、删除的平均时间复杂度降低至 O(logn)?
链表没有像数组那样的高效随机访问(O(1) 时间复杂度)，所以不能像有序数组那样直接进行二分搜索优化
◼那有没有其他办法让有序链表搜索、添加、删除的平均时间复杂度降低至 O(logn)?
使用跳表(SkipList)
跳表(SkipList)
◼ 跳表，又叫做跳跃表、跳跃列表，在有序链表的基础上增加了“跳跃”的功能
由William Pugh于1990年发布，设计的初衷是为了取代平衡树(比如红黑树)
◼Redis中 的 SortedSet、LevelDB 中的 MemTable 都用到了跳表
Redis、LevelDB 都是著名的 Key-Value 数据库
◼ 对比平衡树
跳表的实现和维护会更加简单
跳表的搜索、删除、添加的平均时间复杂度是 O(logn)
使用跳表优化链表(图片来源于网络)
跳表的搜索
1.从顶层链表的首元素开始，从左往右搜索，直至找到一个大于或等于目标的元素，或者到达当前层链表的尾部
2.如果该元素等于目标元素，则表明该元素已被找到
3.如果该元素大于目标元素或已到达链表的尾部，则退回到当前层的前一个元素，然后转入下一层进行搜索
跳表的添加、删除
◼ 添加的细节
随机决定新添加元素的层数
◼ 删除的细节
删除一个元素后，整个跳表的层数可能会降低
跳表的层数
◼ 跳表是按层构造的，底层是一个普通的有序链表，高层相当于是低层的“快速通道”
在第 i 层中的元素按某个固定的概率 p(通常为 1⁄2 或 1⁄4 )出现在第 i + 1层中，产生越高的层数，概率越低
✓元素层数恰好等于 1 的概率为 1 – p
✓元素层数大于等于 2 的概率为 p，而元素层数恰好等于 2 的概率为 p * (1 – p)
✓元素层数大于等于 3 的概率为 p^2，而元素层数恰好等于 3 的概率为 p^2 * (1 – p)
✓元素层数大于等于 4 的概率为 p^3，而元素层数恰好等于 4 的概率为 p^3 * (1 – p)
✓ ......
✓一个元素的平均层数是 1 / (1 – p)
◼当 p = 1⁄2 时，每个元素所包含的平均指针数量是 2 ◼当 p = 1⁄4 时，每个元素所包含的平均指针数量是 1.33
跳表的复杂度分析
◼ 每一层的元素数量
第 1 层链表固定有 n 个元素
第 2 层链表平均有 n * p 个元素
第 3 层链表平均有 n * p2 个元素
第 k 层链表平均有 n * pk 个元素
...
◼另外
最高层的层数是 log1/pn，平均有个 1/p 元素
在搜索时，每一层链表的预期查找步数最多是 1/p，所以总的查找步数是 –(logpn/p)，时间复杂度是 O(logn)
package alangeit;
// 跳表(Skip List)
import java.util.Comparator;
@SuppressWarnings("unchecked")
public class SkipList<K, V> {
private static final int MAX_LEVEL = 32;// 最高层数
private static final double P = 0.25;
private int size;
private Comparator<K> comparator; // 比较器
private int level; // 有效层数
private Node<K, V> first; // 首节点，不存放任何K-V
public SkipList(Comparator<K> comparator) {
this.comparator = comparator;
first = new Node<>(null, null, MAX_LEVEL);
}
public SkipList() {
this(null);
}
public int size() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
// 搜索
public V get(K key) {
keyCheck(key);
Node<K, V> node = first;
for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
int cmp = -1;
while (node.nexts[i] != null
&& (cmp = compare(key, node.nexts[i].key)) > 0) {
node = node.nexts[i];
}
// node.nexts[i].key >= key
if (cmp == 0) return node.nexts[i].value;
}
return null;
}
// 添加
public V put(K key, V value) {
keyCheck(key);
Node<K, V> node = first;
Node<K, V>[] prevs = new Node[level];// 保存前驱
for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
int cmp = -1;
while (node.nexts[i] != null
&& (cmp = compare(key, node.nexts[i].key)) > 0) {
node = node.nexts[i];
}
if (cmp == 0) { // 节点是存在的
V oldV = node.nexts[i].value;
node.nexts[i].value = value;
return oldV;
}
prevs[i] = node;// 保存前驱
}
// 新节点的层数
int newLevel = randomLevel();
// 添加新节点
Node<K, V> newNode = new Node<>(key, value, newLevel);
// 设置前驱和后继
for (int i = 0; i < newLevel; i++) {// i：第几层
if (i >= level) {
first.nexts[i] = newNode;// 头节点的后继指向新节点
} else {
newNode.nexts[i] = prevs[i].nexts[i];// 设置后继
prevs[i].nexts[i] = newNode;// 设置前驱的后继为新加的节点
}
}
// 节点数量增加
size++;
// 计算跳表的最终层数
level = Math.max(level, newLevel);
return null;
}
// 删除
public V remove(K key) {
keyCheck(key);
Node<K, V> node = first;
Node<K, V>[] prevs = new Node[level];// 保存前驱
boolean exist = false;
for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
int cmp = -1;
while (node.nexts[i] != null
&& (cmp = compare(key, node.nexts[i].key)) > 0) {
node = node.nexts[i];
}
prevs[i] = node;
if (cmp == 0) exist = true;// 要删除的节点是否存在
}
if (!exist) return null;
// 需要被删除的节点
Node<K, V> removedNode = node.nexts[0];
// 数量减少
size--;
// 设置后继
for (int i = 0; i < removedNode.nexts.length; i++) {
prevs[i].nexts[i] = removedNode.nexts[i];
}
// 更新跳表的层数
int newLevel = level;
while (--newLevel >= 0 && first.nexts[newLevel] == null) {
level = newLevel;
}
return removedNode.value;
}
private int randomLevel() {
int level = 1;
while (Math.random() < P && level < MAX_LEVEL) {
level++;
}
return level;
}
private void keyCheck(K key) {
if (key == null) {
throw new IllegalArgumentException("key must not be null.");
}
}
private int compare(K k1, K k2) {
return comparator != null
? comparator.compare(k1, k2)
: ((Comparable<K>)k1).compareTo(k2);
}
private static class Node<K, V> {
K key;
V value;
Node<K, V>[] nexts;
public Node(K key, V value, int level) {
this.key = key;
this.value = value;
nexts = new Node[level];
}
@Override
public String toString() {
return key + ":" + value + "_" + nexts.length;
}
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
sb.append("一共" + level + "层").append("\n");
for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
Node<K, V> node = first;
while (node.nexts[i] != null) {
sb.append(node.nexts[i]);
sb.append(" ");
node = node.nexts[i];
}
sb.append("\n");
}
return sb.toString();
}
}
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