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巧解圆锥曲线中的定点和定值问题

巧解圆锥曲线中的定点和定值问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-04-15 08:44 被阅读0次

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用.

方法一 定点问题

巧解圆锥曲线中的定点问题

求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是:把直线或曲线方程中的变量xy当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于xy的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明.
【例1】已知椭圆C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的左右焦点分别为F_1F_2,椭圆C过点P\left(1,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),直线PF_1
y轴于Q,且\overrightarrow{PF_2}=2\overrightarrow{QO}O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆C上的顶点,过点M分别作出直MAMB线交椭圆于AB两点,设这两条直线的斜率
分别为k_1k_2,且k_1+k_2=2,证明:直线AB过定点.
【解析】
(1)\overrightarrow{PF_2}=2\overrightarrow{QO}\therefore PF_2 \perp F_1F_2

\therefore c=1\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{\frac{1}{2}}{b^2}=1a^2=b^2+c^2=b^2+1

\therefore b^2=1a^2=2,即\dfrac{x^2}{2}+y^2=1

(2)设AB方程为y=kx+b代入椭圆方程
\left(\dfrac{1}{2}+k^2\right)x^2+2kbx+b^2-1=0x_A+x_B=\dfrac{-2kb}{\dfrac{1}{2}+k^2}x_Ax_B=\dfrac{b^2-1}{\dfrac{1}{2}+k^2}
k_{MA}=\dfrac{y_A-1}{x_A}k_{MB}=\dfrac{y_B-1}{x_B}
∴k_{MA}+k_{MB}=\dfrac{y_A-1}{x_A}+\dfrac{y_B-1}{x_B}=\dfrac{y_Ax_B+x_Ay_B-(x_A+x_B)}{x_Ax_B}=2
∴k=b+1代入y=kx+b得:

y=kx+k-1所以, 直线必过(-1,1)
【总结】求曲线方程主要方法是方程的思想,将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.

方法二 定值问题

圆锥曲线中的定值问题

解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的解题模板有两种:
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
【例2】已知抛物线E:y^2=2px(p>0),直线x=my+3E交于AB两点,且\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=6,其中O为坐标原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点c的坐标为(-3,0),记直线CACB的斜率分别为k_1k_2,证明:\dfrac{1}{k_1^2}+\dfrac{1}{k_2^2}-2m^2为定值.
【解析】
(1)解:设A(x_1,y_1)B(x_2,y_2)

联立方程组\begin{cases}y^2=2px\\x=my+3\end{cases}

消元得y^2-2pmy-6p=0

所以y_1+y_2=2pmy_1y_2=-6p.

\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=\dfrac{(y_1y_2)^2}{4p^2}+y_1y_2=9-6p=6

所以p=\dfrac{1}{2},从而y^2=x.

(2)因为k_1=\dfrac{y_1}{x_1+3}=\dfrac{y_1}{my_1+6}k_2=\dfrac{y_2}{x_2+3}=\dfrac{y_2}{my_2+6}

所以\dfrac{1}{k_1}=m+\dfrac{6}{y_1}\dfrac{1}{k_2}=m+\dfrac{6}{y_2}

因此\dfrac{1}{k_1^2}+\dfrac{1}{k_2^2}-2m^2=\left(m+\dfrac{6}{y_1}\right)^2+\left(m+\dfrac{6}{y_2}\right)^2-2m^2

=2m^2+12m\left(\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}\right)+36\left(\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}\right)^2-2m^2

=2m^2+12m\cdot \dfrac{y_1+y_2}{y_1y_2}+36\cdot \dfrac{(y_1+y_2)^2-2y_1y_2}{y_1^2y_2^2}-2m^2

y_1+y_2=2pm=my_1y_2=-6p=-3
所以\dfrac{1}{k_1^2}+\dfrac{1}{k_2^2}-2m^2=2m^2+12m \times \dfrac{-m}{3}+36\times \dfrac{m^2+6}{9}-2m^2=24.
\dfrac{1}{k_1^2}+\dfrac{1}{k_2^2}-2m^2为定值.

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