圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识综合性较强,对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.定值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用.
方法一 定点问题
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求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是:把直线或曲线方程中的变量,
当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于
,
的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通过特例探求,再用一般化方法证明.
【例1】已知椭圆的左右焦点分别为
,
,椭圆
过点
,直线
交轴于
,且
,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
上的顶点,过点
分别作出直
,
线交椭圆于
,
两点,设这两条直线的斜率
分别为,
,且
,证明:直线
过定点.
【解析】
(1),
,
,
,
,即
(2)设方程为
代入椭圆方程
,
,
,
,
代入
得:
所以, 直线必过
.
【总结】求曲线方程主要方法是方程的思想,将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.
方法二 定值问题
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解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值问题常见的解题模板有两种:
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
【例2】已知抛物线,直线
与
交于
,
两点,且
,其中
为坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点的坐标为
,记直线
、
的斜率分别为
,
,证明:
为定值.
【解析】
(1)解:设,
,
联立方程组,
消元得,
所以,
.
又,
所以,从而
.
(2)因为,
所以,
因此
又,
,
所以.
即为定值.
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