圆锥曲线(1)

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-11-10 10:09 被阅读0次

圆锥曲线(1)
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圆锥曲线
圆锥曲线！

圆锥曲线

椭圆
定义: 到两定点的距离之和为定值的点的轨迹.

$\displaystyle\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\;(a>b>0)$ 焦点在 $x$ 轴上.

设 $F_1$ 为左焦点， $F_2$ 为右焦点， $P$ 为椭圆上一点

离心率: $\displaystyle e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}\;(0<e<1)$
离心率与形状的关系
设 $\angle F_1F_2P=\alpha,\,\angle F_2F_1P=\beta$
$e=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha+\sin\beta}$
长轴: $2a$
短轴: $2b$
焦点: $(-c,0),\;(c,0)$
焦距: $2c$
面积: $S=\pi ab$
焦点三角形: $\displaystyle\triangle F_1PF_2$
焦点三角形面积: $S=b^2\tan\frac{\theta}{2}\;(\angle F_1PF_2=\theta)$
$a^2=b^2+c^2$
$4c^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1|\cdot|PF_2|\cdot\cos\theta$

过椭圆上一点 $P_0(x_0,\,y_0)$ 的切线为
$\displaystyle\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$
离心率相同的椭圆 $\displaystyle\dfrac{x^2}{(ma)^2}+\dfrac{y^2}{(mb)^2}=1$

$a-c\leqslant|PF_1|\leqslant a+c$

试

1

设 $F_1,\,F_2$ 分别是椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆上一点， $M$ 是 $F_2P$ 的中点， $|PM|=3$ ，则 $P$ 点到椭圆左焦点的距离为______.

解:
由题意知 $|PM|=\dfrac{1}{2}|PF_2|=3\Rightarrow|PF_2|=6$
$\therefore |PF_1|=2a-|PF_2|=4.$

2

曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 与曲线 $C_2:\dfrac{x^2}{25-k}+\dfrac{y^2}{9-k}=1\;(k<9)$ 的（）
$A.$ 长轴长相等
$B.$ 短轴长相等
$C.$ 离心率相等
$D.$ 焦距相等

解:
因为
$c_1^2=25-9=16,$
$c_2^2=(25-k)-(9-k)=16,$
所以 $c_1=c_2$ ,
所以两个曲线的焦距相等.
选 $D$ .

3

已知圆 $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ 经过椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F$ 和上顶点 $B$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为______.

解:
由题意得，椭圆的右焦点 $F$ 为 $(c,0)$ ，上顶点 $B$ 为 $(0,b)$ . 因为圆 $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ 经过右焦点 $F$ 和上顶点 $B$ ，所以

$\begin{cases} (c-1)^2+1=2\\ 1+(b-1)^2=2\\ \end{cases}$

解的 $b=c=2$ ，则 $a^2=b^2+c^2=8\Rightarrow a=2\sqrt{2}$
所以椭圆 $C$ 的离心率为 $e=\dfrac{c}{e}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

4

设 $F_1,\,F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在椭圆上，且 $|\overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}|=2\sqrt{3}$ ，则 $\angle F_1PF_2$ 等于______.

解:
$\because \overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}=2\overrightarrow{PO}$
$\therefore |\overrightarrow{PF_1}+\overrightarrow{PF_2}|=2|\overrightarrow{PO}|=2\sqrt{3}\Rightarrow |\overrightarrow{PO}|=\sqrt{3}$
又 $c^2=4-1=3\Rightarrow c=\sqrt{3}$
$\therefore |\overrightarrow{OF_1}|=|\overrightarrow{OF_2}|=|\overrightarrow{PO}|=\sqrt{3}$
$\therefore \triangle F_1PF_2$ 为直角三角形.
$\therefore \angle F_1PF_2=\dfrac{\pi}{2}.$

5

设椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,\,F_2$ ，点 $P$ 在椭圆上，且满足 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=9$ ，则 $|PF_1|\cdot|PF_2|$ 的值为______.

解:
由椭圆方程可知 $c^2=4$ ，所以 $|F_1F_2|=4$
设 $|PF_1|=m,\,|PF_2|=n,\,\angle F_1PF_2=\theta$
由余弦定理得
$4c^2=m^2+n^2-2mn\cos\theta$
$4c^2=(m+n)^2-2mn\cos\theta-2mn=16$
又 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=9$
$\therefore \overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=|PF_1|\cdot|PF_2|\cos\theta=mn\cos\theta=9$
$\therefore (m+n)^2-2mn\cos\theta-2mn=64-2\cdot9-2mn=16$
$\therefore mn=15.$

6

焦距是 8，离心率等于 0.8 的椭圆的标准方程为______.

解:
由题意知 $\begin{cases} 2c=8\\ \dfrac{c}{a}=\dfrac45 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=5\\ c=4 \end{cases} \Rightarrow b=3$
当焦点在 $x$ 轴上时，椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$

当焦点在 $y$ 轴上时，椭圆方程为 $\dfrac{y^2}{25}+\dfrac{x^2}{9}=1$

7

若椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦点在 $x$ 轴上，过点 $(2,1)$ 作圆 $x^2+y^2=4$ 的切线，切点分别为 $A,\,B$ ，直线 $AB$ 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为______.

解:
设切点坐标为 $(m,n)$ .
则 $\dfrac{n-1}{m-2}\cdot\dfrac{n}{m}=-1$ .
即 $m^2+n^2-n-2m=0$ .
又 $m^2+n^2=4,$
$\therefore 2m+n-4=0$ .
即直线 $AB$ 的方程为 $2x+y-4=0$ ,
又直线 $AB$ 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
$\therefore 2c-4=0,\;b-4=0,\Rightarrow c=2,\;b=4,$
$\therefore a^2=b^2+c^2=20$
$\therefore$ 椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{16}=1$

8

已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 与椭圆 $C_2:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 相交于 $A,\,B,\,C,\,D$ 四点，若椭圆 $C_1$ 的一个焦点 $F(-\sqrt{2},0)$ ，且四边形 $ABCD$ 的面积为 $\frac{16}{3}$ ，则椭圆 $C_1$ 的离心率 $e$ 为_______.

解:
联立 $\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,\\ \dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1, \end{cases}$

两式相减得 $\dfrac{x^2-y^2}{a^2}=\dfrac{x^2-y^2}{b^2}.$ 且 $a\not=b$
$\therefore x^2=y^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，面积为 $\dfrac{4a^2b^2}{a^2+b^2}=\dfrac{16}{3}\quad(1)$
又由题意得 $a^2=b^2+2$ ，将其带入（1）整理得 $3b^4-2b^2-8=0$
得到 $b^2=2\Rightarrow a^2=4$
所以椭圆 $C_1$ 的离心率为 $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

9

设 $P,\,Q$ 分别是圆 $x^2+(y-1)^2=3$ 和椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 上的点，则 $P,\,Q$ 两点间的最大距离是______.

解:
由圆得性质可知， $P,Q$ 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径 $\sqrt{3}$ ，设 $Q(x,y)$ ，则圆心 $(0,1)$ 到椭圆上点的距离为

$d=\sqrt{x^2+(y-1)^2}=\sqrt{-3y^2-2y+5}=\sqrt{-3\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{16}{3}}$

$\because -1\leqslant y\leqslant1$
$\therefore$ 当 $y=-\dfrac{1}{3}$ 时， $d$ 取到最大值 $\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
$\therefore P,Q$ 两点间的最大距离为 $d_{max}+\sqrt{3}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$

10

已知椭圆的长轴长为 10，两焦点 $F_1,F_2$ 的坐标分别为 $(3,0)$ 和 $(-3,0)$ .
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若 $P$ 为短轴的一个端点，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积.

解:
(1) 设椭圆方程的标准方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\;(a>b>0)$ ,
依题意得 $\begin{cases} 2a=10\\ c=3\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=5\\ c=3\\ \end{cases}\Rightarrow b=4$
所以椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$

(2) 易知 $|y_p|=4$ ，又 $c=3$ ,
所以 $S_{\triangle F_1PF_2}=\dfrac12\times|y_p|\times2c=\dfrac12\cdot4\cdot6=12$ .

11

(2019 上海卷 T9) 已知 $F_1F_2$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $PF_1\bot PF_2$ , 若 $\triangle PF_1F_2$ 的面积为9，则 $b$ =______.

解:
$\triangle PF_1F_2$ 为焦点三角形，
$\therefore S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}=9$
又 $\theta=\angle F_1PF_2=90^{\circ}$
$\therefore b^2\tan\dfrac{\theta}{2}=b^2=9\Rightarrow b=3.$

双曲线
定义: 定义: 到两定点之差的绝对值为定值的点的轨迹.

$\displaystyle\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$

抛物线
定义: 到定点与定直线的距离相等的点的轨迹.

补充

$\displaystyle\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}=\dfrac{b+d}{a+c}$

焦点三角形面积公式

椭圆中焦点三角形面积: $S=b^2\tan\frac{\theta}{2}\;(\angle F_1PF_2=\theta)$

证明:
对于焦点三角形 $\triangle F_1PF_2$ ，设 $|PF_1|=m,\,|PF_2|=n$ ,
有 $m+n=2a$
在 $\triangle F_1PF_2$ 中用余弦定理，有

$(F_1F_2)^2=m^2+n^2-2mn\cos\theta$
即
$\begin{aligned} 4c^2 =&m^2+n^2-2mn\cos\theta+2mn-2mn\\ =&(m+n)^2-2mn(\cos\theta+1)\\ =&4a^2-2mn(\cos\theta+1)\\ mn =&\dfrac{4a^2-4c^2}{2(\cos\theta+1)}\\ =&\dfrac{2b^2}{\cos\theta+1} \end{aligned}$

又
$\begin{aligned}S_{\triangle F_1PF_2} =&\dfrac{1}{2}\cdot mn\cdot\sin\theta\\ =&\dfrac{b^2\sin\theta}{\cos\theta+1}\\ =&\dfrac{b^2\cdot2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}}{2\cos^2\dfrac{\theta}{2}}\\ =&\dfrac{b^2\sin\dfrac{\theta}{2}}{\cos\dfrac{\theta}{2}}\\ =&b^2\tan\dfrac{\theta}{2} \end{aligned}$

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