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切线法解圆锥曲线中的最值和范围问题

切线法解圆锥曲线中的最值和范围问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-05-17 21:36 被阅读0次

方法二 切 线 法

切线法解圆锥曲线中的最值和范围问题

使用情景：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线y=kx+b的距离的最值时
解题步骤：

第一步 设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线，
第二步 切线方程y=kx+b与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且\Delta=0，求出b 的值，即可求出切线方程；
第三步 两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.
【例】 求椭圆\dfrac{x^2}{2}+y^2=1上的点到直线y=x+2\sqrt{3}的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.

【解析】

设与直线y=x+2\sqrt{3}平行，且与椭圆相切的直线为y=x+b

\begin{cases}y=x+b\\\dfrac{x^2}{2}+y^2=1 \end{cases}……①

所以3x^2+4bx+2b^2-2=0……②

\Delta=(4b)^2-4 \times 3 \times(2b^2-2)=0

所以b=\pm\sqrt{3}

当时，代入②中，得切点坐标\left(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)，此时d_{\min}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}；

当时，代入②中，得切点坐标\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)，此时d_{\max}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}.

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