划重点

这里仅仅只是谈论一下我对SVD分解在生物学中的应用

SVD分解最常用的模型是推荐系统，因此这里仿照推荐系统的基本框架，迁移进生物学中的意义来理解。而SVD在生物学中常见的操作就是因子降维，去挖掘潜在的大类因子

例子

假设说，这里有一个生物学指标的矩阵：

每一个item代表每一个生物学指标（比方说医学指标），每一个sample代表每一个生物学个体

SVD分解的图示如下：

图片摘自知乎

也就是将原始矩阵（A），分解为左奇异矩阵（U），奇异值矩阵（∑）和右奇异矩阵（V)的乘积，并且奇异值矩阵中，主对角线的值即为奇异值，奇异值越大代表奇异向量的贡献越大，因此在因子降维的过程中，选取贡献较大的奇异向量即可

回到之前的例子，图示如下：

其中，factor 1，factor 2为影响sample的大类因子；而factor A，factor B为影响item的大类因子

如果我们想看sample 1对item 2的影响（贡献），我们只需要：

最终计算出来的那个数值（标量）即为sample 1对item 2的影响（贡献）

从几何意义入手再次理解SVD

以最简单的矩阵进行SVD分解:

其中三个矩阵的数值分别如下：

由于 factory 2 和 factory B 这两个特征向量为零向量，因此真正有贡献的是 factory 1 和 factory A 这两个特征向量

针对于item

如果以生物学指标 item 来建立二维坐标系：
其中sample 1 的坐标为 [1, 1.732051]；sample 2 的坐标为 [5, 8.660654]

其中特征向量为factory A，factory A的坐标为 [0.5,0.866]，那么 0.5代表了 factory A 这个特征向量与 item 1 这根轴的方向余弦；0.866代表了 factory A 这个特征向量与 item 2 这根轴的方向余弦

方向余弦值越大代表该 factory 对该 item 的影响较大

针对于sample

如果以生物学指标 sample 来建立二维坐标系：
其中 item 1 的坐标为 [1, 5]；item 2 的坐标为 [1.732051, 8.660654]

其中特征向量为factory 1，factory 1的坐标为 [0.1961,0.9806]，那么 0.1961代表了 factory 1 这个特征向量与 sample 1 这根轴的方向余弦；0.9806代表了 factory 1 这个特征向量与 sample 2 这根轴的方向余弦

方向余弦值越大代表该 factory 对该 sample 的影响较大

对于SVD的理解是不是和PCA的理解比较类似呢？：传送门