Rieman积分的定义简要

作者: 东方胖 | 来源:发表于2023-06-29 16:00 被阅读0次

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Rieman 积分的定义
缘起于求曲线下方围成的面积

它的定义路径

将曲线下方的面积分割，具体操作，在二维实数轴上进行区间分割
假设曲线关于自变量 $x$ 的方程 $y = f(x)$ 是一个闭区间上的有界函数
用长方形长乘以宽再求和的方法逼近实际面积
具体的逼近，在一个充分小的区间上， $y = f(x)$ 近似看成是一个平行与 $x$ 轴的直线，技术上用 $supf(x)$ $inf f(x)$ 表示一个 $f(x)$ 的上下确界

第 4点的基础在于实数集的上确界性质——集合有上界则必然存在最小上界

在第四步可以用符号体系把 $f(x)$ 基于分划的求和定格在一个上下界限内
即
$L(P, f) = \sum \Delta x_{i} \mathop {inf}_{x\in [x_i, x_{i+1}]} f(x) \\ U(P, f) = \sum \Delta x_{i} \mathop {sup}_{x\in [x_i, x_{i+1}]} f(x)$
然后再考虑一个关于区间划分的性质：把区间划得越细 $U(f, P)$ 越小，而 $L(f, P)$ 会越来越大，但总是满足这样的关系
$L(f, P) \le L(f, P' ) \le U(f, P') \le U(f, P)$
P'是一个比 P更细的分划
上面这个关系预示着分划越来越细的话 $L(f, P)$ 和 $U(f, P)$ ，它们越来越接近，以至于有可能相等

另外，假设 $m \le f(x) \le M$ 那么
$(b - a)m \le L(f, P) \le U(f, P) \le M(b -a)$
$U(f, P)$ 有下界，因此有下确界
$L(f, P)$ 有上界，因此有上确界
这样就可以做出以下的定义
$\int^{-} f = \mathop {inf}_P U(f, P) \\ \int_{-}f = \mathop {sup}_P L(f, P)$
如果 $\int^{-} f = \int_{-} f$ 那么函数 $f(x)$ 在区间 [a, b] 上可积

积分的定义看上非常繁琐。
大致上可以看到几块基石

实数集上的上确界性质，这是最基本的。没有这个，积分没法谈，另外呢，在可数集合上，例如有理数 $\mathbb Q$ 很难定义 Rieman 积分，自然数就更不行，当时有类似意义的无穷级数
中介工具，区间的分划及一些性质
长方形的面积计算，这个是不是必须的？看起来不是的，乘积只是一个必要的运算，
函数有界，这个约定是必要的。否则对于无穷的运算，看起来好像很平凡，像 $U(P, f)$ 可能是 $+\infty$ 但是到后面可以扩充到广义积分

以上几点是古典积分定义的脉络

证明一个积分是可积函数
一般要做的事情就是，证明上积分等于下积分
$\int^{-} f = \int_{-} f$

也就是等价于，任取一个正数 $\varepsilon$ 有
$\left | \int^{-} f - \int_{-} f \right | < \varepsilon$
再由上下积分的含义，即找到一个区间 [a, b] 上的分划，让
$\left| \sum \Delta x_{i} \mathop {inf}_{x\in [x_i, x_{i+1}]} f(x) - \sum \Delta x_{i} \mathop {sup}_{x\in [x_i, x_{i+1}]} f(x)\right | < \varepsilon$

闭区间 [a, b] 上的单调函数是可积的
这个很好证明，因为这种函数任意划分的上下确界都是很好计算的
闭区间[a, b] 上的连续函数是可积的
这个需要对于一个任意的 $\varepsilon > 0$ 能取到 $\delta > 0$ 当 $a \le x_1 \lt x_2 \le b$ 且 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon /(b - a)$
以上因为连续函数在闭区间一致连续，肯定是能做到的
然后对闭区间 n 等分，让 n 足够大以致于 $(b - a) / n < \delta$
这样保证了每个分划的小区间上的上下确界 $M_i$ $m_i$ 的差
$M_i - m_i < \varepsilon/(b - a)$ —— 这是因为闭区间上的连续函数的最值原理，总有点 $x_{min}, x_{max} \in [a, b] ,s.t f(x_{min}) = m_i, f(x_{max}) = M_i$

这样，上面 n 等分的分划可以得到

$\left| \sum \Delta x_{i} \mathop {inf}_{x\in [x_i, x_{i+1}]} f(x) - \sum \Delta x_{i} \mathop {sup}_{x\in [x_i, x_{i+1}]} f(x)\right | \\ = (b - a) / n \left| \sum (M_i - m_i)\right| \\ = \frac {b - a} {n} n \frac 1{b -a} \varepsilon = \varepsilon$