线性代数—矩阵

一、矩阵的概念

定义1：矩阵就是个表格，行列式是个数，若干行若干列构成的一个表格；比如教师座位就是矩阵；excel表格就是矩阵。矩阵不一定是方的！行列式一定是方的！
（1）如果一个矩阵所有的元素都为0，则称为零矩阵。
（2）如果一个矩阵是n行n列，我们称为n阶方阵。
（3）如果一个矩阵是方形矩阵，如果其矩阵的组对角线之外所有的元素都是0，则称该矩阵为n阶对角矩阵。或称为对角阵。
（组对角线上也可以有0，但组对角线之外一定是0）
（4）存在A,B两个矩阵，若两个矩阵的行数和列数相同，则称矩阵A，B为同型矩阵。（矩阵特别讲究型！，即数据库中的并相容性）
（5）存在A,B两个矩阵同型，如果任一a[ i ] [ j ]=b [ i ] [ j ],才称两个矩阵相等。

二、矩阵的运算

矩阵只有 只有三则运算，加法、减法、乘法、没有除法。
首先要进行矩阵的运算，必须满足两个矩阵同型，才能相加相减，对应的元素相加减。
一个数要跟矩阵相乘，是一个数跟矩阵的每个元素相乘。
内标决定相乘是否合法。
矩阵之间要进行相乘，一定要两个矩阵的内标相同，即矩阵A的列标与矩阵B的行标相同。
外标决定相乘之后矩阵的型。
矩阵A与矩阵B相乘后，两个矩阵的外标，为结果矩阵C的型。即矩阵C有矩阵A的行数，有矩阵B的列数。
矩阵C的元素的值为元素a乘元素b，然后再相加。如下图：

例题一道：

注意：

① A不是零矩阵，B不是零矩阵，不可推出AB不是零矩阵。

②A不是零矩阵，推不出A^k不是零矩阵。

③矩阵A乘矩阵B，不一定等于矩阵B乘矩阵A。
不一定满足交换律 两个相乘分为三种情况：

④ E为单位矩阵，即组对角线为1的矩阵。
设有f（x）这样一个一元多项式，A为n阶方阵，则f（A）=多项式，用x替换方阵A，最后常数项后加E。
我们把f（A）称为方阵A的矩阵多项式。

关于方阵A的矩阵多项式可以像多项式一样进行分解

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矩阵运算的性质

（一）加法性质

1、A + B = B + A 矩阵的加法满足交换律
2、 （A+B）+C = A+（B+C) 满足结合律

（二）乘法性质

重要的话：矩阵是一个工具，源头是解决方程组！

三、可逆矩阵

一、背景：一元一次方程的解

在这种背景下推出了可逆矩阵的概念。

情形一:
A为n阶矩阵，存在B，使得BA=E
由AX =b得B AX = B b，即X = Bb ;
情形二:
(1）A为1矩阵，不存在B，使得BA=E
(2）A 为m×n矩阵，且m≠n

二、可逆矩阵

(一)可逆矩阵的概念—设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得BA=E，称A为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，记B= A^(-1)。

例题：E=E-A²，求（E-A）的逆矩阵。