一、矩阵的概念
定义1:矩阵就是个表格,行列式是个数,若干行若干列构成的一个表格;比如教师座位就是矩阵;excel表格就是矩阵。矩阵不一定是方的!行列式一定是方的!
(1)如果一个矩阵所有的元素都为0,则称为零矩阵。
(2)如果一个矩阵是n行n列,我们称为n阶方阵。
(3)如果一个矩阵是方形矩阵,如果其矩阵的组对角线之外所有的元素都是0,则称该矩阵为n阶对角矩阵。或称为对角阵。
(组对角线上也可以有0,但组对角线之外一定是0)
(4)存在A,B两个矩阵,若两个矩阵的行数和列数相同,则称矩阵A,B为同型矩阵。(矩阵特别讲究型!,即数据库中的并相容性)
(5)存在A,B两个矩阵同型,如果任一a[ i ] [ j ]=b [ i ] [ j ],才称两个矩阵相等。
二、矩阵的运算
矩阵只有 只有三则运算,加法、减法、乘法、没有除法。
首先要进行矩阵的运算,必须满足两个矩阵同型,才能相加相减,对应的元素相加减。
一个数要跟矩阵相乘,是一个数跟矩阵的每个元素相乘。
内标决定相乘是否合法。
矩阵之间要进行相乘,一定要两个矩阵的内标相同,即矩阵A的列标与矩阵B的行标相同。
外标决定相乘之后矩阵的型。
矩阵A与矩阵B相乘后,两个矩阵的外标,为结果矩阵C的型。即矩阵C有矩阵A的行数,有矩阵B的列数。
矩阵C的元素的值为元素a乘元素b,然后再相加。如下图:
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注意:
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②A不是零矩阵,推不出A^k不是零矩阵。
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③矩阵A乘矩阵B,不一定等于矩阵B乘矩阵A。
不一定满足交换律 两个相乘分为三种情况:
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④ E为单位矩阵,即组对角线为1的矩阵。
设有f(x)这样一个一元多项式,A为n阶方阵,则f(A)=多项式,用x替换方阵A,最后常数项后加E。
我们把f(A)称为方阵A的矩阵多项式。
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关于方阵A的矩阵多项式可以像多项式一样进行分解
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矩阵运算的性质
(一)加法性质
1、A + B = B + A 矩阵的加法满足交换律
2、 (A+B)+C = A+(B+C) 满足结合律
(二)乘法性质
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重要的话:矩阵是一个工具,源头是解决方程组!
三、可逆矩阵
一、背景:一元一次方程的解
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在这种背景下推出了可逆矩阵的概念。
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情形一:
A为n阶矩阵,存在B,使得BA=E
由AX =b得B AX = B b,即X = Bb ;
情形二:
(1)A为1矩阵,不存在B,使得BA=E
(2)A 为m×n矩阵,且m≠n
二、可逆矩阵
(一)可逆矩阵的概念—设A为n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使得BA=E,称A为可逆矩阵,B称为A的逆矩阵,记B= A^(-1)。
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例题:E=E-A²,求(E-A)的逆矩阵。
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