Harris 角点检测

作者: yuerxiaoshui | 来源:发表于2020-10-16 10:16 被阅读0次

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角点的定义有以下两种：

角点可以是两个边缘的交点
角点是邻域内具有两个主方向的特征点

基本假设：如果在各个方向上移动窗口，窗口区域内的灰度值发生了较大变化，那么就认为在窗口内遇到了角点。

窗口平移

[u,v]

产生的灰度变化的自相关函数如下：

E(u,v)=\sum_{x,y}w(x,y)\left[I(x+u,y+v)-I(x,y)\right]^2

其中

w

(权重矩阵) 可以是均值矩阵，也可以是高斯核

I(x+u,y+v)=I(x,y)+I_xu+I_yv+o(u^2,v^2)

E(u,v)=\sum_{x,y}w(x,y)\left[I_xu+I_yv+o(u^2,v^2)\right]^2

o(u^2,v^2)\approx0

\left[I_xu+I_yv\right]^2=\begin{bmatrix}u & v\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_x^2 & I_xI_y \\ I_xI_y & I_y^2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \\ v\end{bmatrix}

E(u,v)\cong\begin{bmatrix}u&v\end{bmatrix}M\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}

M=\sum_{x,y}w(x,y)\begin{bmatrix}I_x^2 & I_xI_y \\ I_xI_y & I_y^2 \end{bmatrix}

M=W\ast M_I

M_I=\nabla I\nabla I^T=\begin{bmatrix}I_x \\ I_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_x & I_y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_x^2 & I_xI_y \\ I_xI_y & I_y^2 \end{bmatrix}

其中，矩阵

M

又称为 Harris 矩阵，

W

的大小决定了卷积的范围。

忽略余项之后的表达式为一个二项式函数，而二项式函数的本质是一个椭圆函数，椭圆的扁率和尺寸是由 $M(x,y)$ 的特征值 $\lambda1$ $\lambda2$ 决定的，椭圆的方向是由 $M(x,y)$ 的特征矢量决定的。

椭圆函数特征值与图像中的角点、直线（边缘）和平面之间的关系如下：

直线：一个特征值大，另一个特征值小， $\lambda1>\lambda2$ 或 $\lambda2>\lambda1$ 。自相关函数值在某一方向上大，在其他方向上小。
平面：两个特征值都小，且近似相等；自相关函数数值在各个方向上都小。
角点：两个特征值都大，且近似相等，自相关函数在所有方向都增大。

定义角点函数 $R$
$R=\det M-k(\mathrm{trace} M)^2$
$\mathrm{trace}M=\lambda1+\lambda2$
$\det M=\lambda1\lambda2$
(其中，一般取 $k=0.04\sim 0.06$ )故：

直线： $R$ 为大数值负数
平面： $R$ 为小数值
角点： $R$ 为大数值正数
故在判断角点时，设定阈值，提取 $R$ 的局部最大值即为角点。

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