看一段视频，你认为学生可能会犯什么错误？为什么初始访谈：70ny有18个宝塔，每个3层；Ron有9个宝塔，每个3层，我们一共有多少个宝塔？
Tony： 18÷3+9÷3=9(层)
为什么Tony会出现错误？是个案还学生常犯的错误，原因可能是什么？T0ny的问题值得关注吗？
A盒子有4个宝塔，每个字塔有3个小方块。
B盒子有9个宝塔，每个安塔有3个小方块.
2a：哪个盒子有更多的宝塔？
2b：多了多少个宝塔？
2C：A和B两个盒子里一共有多少个宝塔？
2+2+2+2=8(人)以1为单位共有几个？（加法)
数一数，填一填，一堆有5个，2堆有几个，3堆有几个？是以复合单位(堆)为标准，求有几个？(乘法).
学生可能计算很快，但是缺少对复合单位的关注，不会追踪两个单位的变化，只关注结果。
学生缺少单位协同能力，会在高级乘法推理和位值制的问题解决时出现问题。
思考
1、为什么这么简单的问题错得这么多？
不能按情境教学，而见要按照数学的核心规律去教，以适应不同情境，要看背后的本质。
2.难道仅仅是因为学生见得少吗？
学生在本节学习当中或低年级时，因为出现的和识点少，出现错误的机率少，到了多个知识点混合或改变情境，学生就不会灵活应用，说明不是真实理解。
3、强调速度和正确率的训练到底是利大于弊还是弊大于利？
刷题属于低通路迁移，但是也要建立在理解掌握知识基础之上的，否则就是根械训练。
4.不提醒就错，一提醒就会，说明了什么？
说明还是对知识的内在原理理解不够。
是学生不懂我们，还是我们不懂学生？
我们关注学生，关注学前测，更应关注学生学后体验，对不理解的地方，错误的关键加以纠正。
用数线来计算67+17(凑十法)
如何理解儿童的数学思维？
有一些无法融入生活，无法合理解释，无法还原图生活，教学要与未来的学习一致。否则学生的一些错误很难改正。
强调内容结构化，指向学科的本质，所有做知识都能用本质性的乐西去解释。
你看到的东西和学生看到的一致吗？
学生如何理解你说的话？
生的“错误”合理吗？
学生概念的概念的学习要指向核心概念
·反映数学的本质。
为学生将来的数学学打好基础，而不是制造麻烦。
与学生的前概念，已有的认知结构建立联结。
布鲁纳：
无论教哪科，一定要让学生理解基本结构，有助于学生解决课堂内外遇到的各类问题。掌握实物的基本结构，就是充许许多别的东西与它有意义的联系起来的方式去理解它
学习这种基本结构就是学习事物之间是怎样相互关联起来的。
挑战小学数学教学中的几个概念：
只要会数数，就有了数概念？
乘法不是相同加数简单相加
分数是部分整数的关系
思考：
这些概念的本质是什么？
学生有什么的前概念？
这些概念给学生带来的最大冲突是什么？
这些概念指向的概念，素养是什么.
如何让这些概念的学习指向大概念的学习/数学思维的发展。
探究“学生的数学”而不是数学家/成人的数学”
并基于此来开展促进数学思维发展的数学教学。
用研究的眼光去教学。
学生的思维发展有迹可循吗？
皮亚杰的认知发展阶段(感知运动、前运算、具体运算、形式运算)能否解释儿童的数学学习？
假设性的学习轨迹 —→学习进阶，对学生在学习活动中思维和理解是如何发展变化的假设。
simon 1995年提出假设性的学习轨迹，他认为学习轨迹就是有关学习在学习活动过程中思维和理解的变化过程的假没。
2022版数学课程标准相关要求.
内容结构化一主题整合——单元整体教学设计——主题中的核心概念——学习进阶
学习轨迹与课程标准及专业发展密切相关.
学习轨迹：
1课程标准→课程材料—数学实践一诊断性评估
课程教学——教学实践—诊断性评估
2专业发展——数学发展——诊断性评估
专业发展——诊断性评估。
学习进阶/轨迹(Lps/ITs)研究的价值
1、是课程标准制定的重要依据.
2基于LP的课程设计会更加灵活
3.Lp也为教师的教学提供依据，
4.Lp为系统的诊断性评估提供依据
5Lp是一种学生知识，是教师专业知识的重要组成分.
学习进阶 ——学习轨迹 学习路径 —学习序列
乘法推理的六个阶段
乘法的协同计算 MDC
相同单位的协同计算Suc ：
不同单位的区分与选择.uos ：
混合单位的协同计算 muc
包含除法 QD:
由等分除法 DD：
学习进断：单位的单位化
进阶水平 例子
实物 3个苹果+5个苹果=8个苹
纯数字 3+5=8
群组 3袋苹果十袋苹果=8袋苹果
整十 30+50=80
测量单位 3cm+5cm=8cm
分数和单位1的关系 1/4+1/4+1/4+1/4=1
一个测量单位的一部分，
可以作为单位进行
计数和加减
3(1/4cm)+5(1/4cm)=8(1/4cm)
分数可以参与计数，相加和相乘
(大于整体)：
3(1/4)+5(1/4)=8(1/4)＝8/4
字母要表达参与计算 3(x+1)+5(x+1)=8(x+1)
学生的数概念发展水平 8+7=15
你的学生可能会怎么做？
答案都是15，他们的思维水平都一样吗？
诊断学生数概念发展水平
1.2.3…….15 从1开始数上去
8.9………15 从7接着数上去
7+7=14 14+1=15 “双倍”方
8+2=10 10+5=15 凑十法
或“就知道”的方法.
哪种水平高？为什么？
复合单位：
如果一个学生可以对一个除了1以外的数看成一个整体来进行操作(拆分组合和运算），那么他就有了复合单位，如3个5，每个5就是一个复合单位。复合单位可以有很层。
具备“复合单位”的概念 是加法推理的前提.
“凑十法”是加法推理阶段，复合单位概念的最高表现形式，可以对数字进行随意的拆分组合。
学生的加法策略反映了其概念(数序)上的发展水平，使用凑十法解决加法问题的儿童，他们在乘法推理上的发展水平会显著高于使用接着数或者双倍法的儿童。
加法推理：学生只需在头脑中对同类型的单位进行计算即可。
乘法推理：要求学生能够同时对复合单位包含的1的个数、复合单位的个数以及总共的1的个数至少3个水平的单位进行操作。而且，学生需要在不同水平的单位上进行转化。
乘法不是“简单的相同加数的和的简便运算”
在处理乘法时，至少要协同两种不同水平的单位，一个是单一单位(以|为单位的数)，一个是复合单位(将1以外的数着作一个单位，并对之进行操作)。
区分学生加法和乘法思维的关键是儿童能否协同两个不同水平的单位。
构建学习进阶的不同方式
自上而下：课标分析、数材分析，专家咨询，文献分析
自下而上：质的建构主义的教学实验研究
如何诊断学生思维
测验法，作业分析，诊断性访谈，课堂中的即时性诊断
作业分析：关注 生是否真正理解概念。
如何留作业：保留过程
鼓励在错误中学习.
巩固原则
变式原则
不只关心答案，更要关注思维的过程
个别，小组指导时可以使用诊断性访谈策略
原则：
寻找关键性错误，识别学生的认知边界
不同阶段的学生，采用不同的手段。
通过对最近发展区提一步细化提出，学生对某一概念的掌握包括参与阶段与预期阶段。
教学中可以用到的关键原则
鼓励画图、常问为什么，互相询问，提问质疑，你是否还有其他的方法？
想法策略：你理解我的做法吗？我为什么这样做？
有一个小朋友这样做，你同意吗？为什么？我不会乘法口诀，你能解释为什么是这个答案吗？请你说一说？
游戏1：双层巴士的游戏 (鼓励用凑十法)
小火车表示数量
2游戏2：请去帮我拿宝塔
3乘法：协同单位的练习
参与性实践：以分数的学习为例
个人：给分数一个定义.
定义形式：分数是……
用你的定义来解释1/4
画一个图来 表示和解释1/4
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解决下面的问题
重新定义分数：分数不是一个“事情/东西”，分数表示的是两个数量之间的倍数关系。
单位分数1/n是一个数量关系，整体是它的n倍
非单位分数，m/n是1/n的m的倍.
分数度量意义是指每个分数都可以看作单位分数的累加或迭代的结果，而分数单位是一个可以计数或迭代的量。
分数的度量意义应该被看作是对分数的部分——整体意义的超越。分数的本质不是整体的一下分，而是一种乘法关系(单位分数和整体 ，单位分数和非单位分数)，而这正是分数度量意义的本质，也就是强调分数是一个具有度量意义的，可以计数的数。
适应学生的数学的设计要素
抓住学料知识的本质，知道学生的困难，清楚学生的学习九迹，明白不同的活动对学生产生的影响，随时做好准备调整好自己的教学。
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