为什么交叉熵（cross-entropy）可以用于计算代价

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在利用深度学习模型解决有监督问题时，比如分类、回归、去噪等，我们一般的思路如下：

1. 信息流forward propagation，直到输出端；

2. 定义损失函数L(x, y | theta)；

3. 误差信号back propagation。采用数学理论中的“链式法则”，求L(x, y | theta)关于参数theta的梯度；

4. 利用最优化方法（比如随机梯度下降法），进行参数更新；

5. 重复步骤3、4，直到收敛为止；

   在第2步中，我们通常会见到多种损失函数的定义方法，常见的有均方误差（error of mean square）、最大似然误差（maximum likelihood estimate）、最大后验概率（maximum posterior probability）、交叉熵损失函数（cross entropy loss），下面我们就来理清他们的区别和联系。一般地，一个机器学习模型选择哪种损失函数，是凭借经验而定的，没有什么特定的标准。具体来说，
   
   （1）均方误差是一种较早的损失函数定义方法，它衡量的是两个分布对应维度的差异性之和。说点题外话，与之非常接近的一种相似性度量标准“余弦角”，则衡量的是两个分布整体的相似性，也即把两个向量分别作为一个整体，计算出的夹角作为其相似性大小的判断依据，读者可以认真体会这两种相似性判断标准的差异；
   
    （2）最大似然误差是从概率的角度，求解出能完美拟合训练样例的模型参数theta，使得概率p(y | x, theta)最大化；
   
    （3）最大化后验概率，即使得概率p(theta | x, y)最大化，实际上也等价于带正则化项的最大似然概率（详细的数学推导可以参见Bishop 的Pattern Recognition And Machine Learning），它考虑了先验信息，通过对参数值的大小进行约束来防止“过拟合”；
   
    （4）交叉熵损失函数，衡量的是两个分布p、q的相似性。在给定集合上两个分布p和q的cross entropy定义如下：
   

              其中，H(p)是p的熵，Dkl(p||q)表示KL-divergence。对于离散化的分布p和q，

              在机器学习应用中，p一般表示样例的标签的真实分布，为确定值，故最小化交叉熵和最小化KL-devergence是等价的，只不过之间相差了一个常数。

值得一提的是，在分类问题中，交叉熵的本质就是似然函数的最大化。证明如下，

• 记带标签的样例为（x, y）， 其中x表示输入特征向量，y=[y1, y2, ..., yc]表示真实标签的one-hot表示，y_=[y_1, y_2, ..., y_c]表示模型输出的分布，c表示样例输出的类别数，那么，

     （1）对于二分类问题，p(x)=[1， 0]，q(x)=[y_1， y_2]，y_1=p(y=1|x)表示模型输出为真的概率，交叉熵H(p, q)=-（1*y_1+0*y_2）=-y_1，显然此时交叉熵的最小化等价于似然函数的最大化；
  
     （2）对于多分类问题， 假设p(x)=[0, 0, 0, ..., 1, 0, 0]，q(x)=[y_1, y_2, y_3, ..., y_k, y_(k+1), y_(k+2)]，即表示真实样例标签为第k类，y_k=p(y=k|x)表示模型输出为第k类的概率，交叉熵H(p, q)=-( 0*y_1+0*y_2+0*y_3+...+1*y_k+0*y_(k+1)+0*y_(k+2) ) = -y_k， 此时同上。