一个粒子的运动是什么样的

如果把电子理解成三维空间的波包的话，由于电子速度的导数 $\frac{d^2\omega}{dk^2}= h/m$ 不为0，波包必定会扩散，与实际观测不符合。
所以新的理论提出了，电子是波动性和粒子性叠加的，概率波来决定它走向哪里。
在双缝干涉实验中，声波、光波的干涉会形成强度不断变化的干涉结果，而对于电子来说，一个电子会打在一个地方感光，但是当有足够多的电子打在感光屏时，其组成的图案与波的干涉是类似的。

既然波函数描述的是概率，那么空间各点出现概率之和应该位1，即
$\int_(all)|\phi(r)|^2d^3x=1 (d^3x = dxdydz)$
也就是波函数的归一化条件
这也是其与经典波的一个原则性区别，经典波的振幅是和波动的能量直接相关的，根本谈不上什么“归一化”

对于一个未归一化的波函数来讲，归一化可实现的条件是
$\int_(all)|\phi(r)|^2d^3x=A>0 (d^3x = dxdydz)$
很明显对平方的积分你需要大于等于0，然后如果等于0的话就变成不可能出现了肯定不对。
不过是否归一化并不影响概率分布。

除了归一化中的幅值外，波函数还有相位有不确定性，因为波函数 $\phi(r)e^{i\omega}$ 中的指数部分的 $\omega$ 不管取多少也不影响其归一化结果，也就是说他们描述的是同一个概率波。

那多个粒子呢？

对于N个粒子来讲，他们的波函数应该有n个参量即 $\phi(r_1,r_2,r_3,r_4,......,r_N)$
其中的 $r_1,r_2,r_3,r_4,......,r_N$ 分布表示各个粒子的坐标（极径向量）
此时波函数 $|\phi(r_1,r_2,r_3,r_4,......,r_N)|^2dx_1^3dx_2^3......dx_N^3=1$ ，表示粒子1在 $(r_1,r_1+dr_1)%内且 ...... 粒子N在$ (r_N,r_N+dr_N)%内的概率
其归一化条件仍然是在全空间积分后等于1
物理学家们通常简记为 $(\phi,\phi)\equiv\int d \tau |\phi|^2$
（看上去像是 $\phi$ 和 $\phi$ 的内积）