妙用直线系求直线方程

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-03-30 10:45 被阅读0次

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类型一平行直线系方程在解题中的应用

平行直线系方程在解题中的应用

解题步骤：

第一步首先设出与直线： $Ax+By+C=0$ （ $A$ , $B$ 不同时为 $0$ ）平行的直线系方程为： $Ax+By+C'=0(C \neq C')$ ；
第二步根据已知条件求出其结果.

例1. 已知直线 $l:x+y+1=0$ ，且 $l∥m$ ，直线 $n：x-2y+1=0$ 被 $l$ ， $m$ 截得的线段长为 $\sqrt{5}$ ，求直线 $m$ 的方程.

【答案】直线 $m$ 方程为： $x+y+4=0$ 或 $x+y-2=0$ .

【解析】

分析：本题是已知两直线平行和其中一条直线方程求直线方程问题，可用平行直线系求解.

解析：设 $m:x+y+c=0(c\neq1)$ ，直线 $l$ 到直线 $n$ 所处的角为 $\theta$ ，直线 $m$ ， $l$ 间的距离为 $d$ ，

由题知， $k_l=-1$ ， $k_n=\dfrac{1}{2}$ ，

由到角公式得 $\tan \theta=\dfrac{\dfrac{1}{2}-(-1)}{1+(-1)\times(\dfrac{1}{2})}=3$ ，

$\therefore \sin \theta=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ， $\therefore d=\sqrt{5}\sin \theta=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ，

由平行线间距离公式得 $\dfrac{|c-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ，

解得 $c=-2$ 或 $c=4$ ，

直线 $m$ 方程为： $x+y+4=0$ 或 $x+y-2=0$ .

【总结】对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.本题也可以由两直线平行斜率相等求出所求直线斜率，把所求直线方程设成点斜式，再利用点到直线的距离公式列出关系式求解.

类型二垂直直线系方程在解题中的应用

垂直直线系方程在解题中的应用

解题步骤：

第一步首先设出与直线： $Ax+By+C=0$ （ $A$ , $B$ 不同时为 $0$ ）垂直的直线系方程为： $Bx-Ay+C'=0$ ；
第二步根据已知条件求出其结果.

例2. 已知直线是曲线 $y=x^2+1$ 的一条切线且与直线 $x-2y+5=0$ 垂直，求直线的方程.
【解析】
分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.

解析：设： $2x+y+c=0$ ，由 $\begin{cases}y=x^2+1 \\2x+y+c=0\end{cases}$

消去 $y$ 得 $x^2+2x+c+1=0$ ，

由与曲线 $y=x^2+1$ 相切得 $\Delta=2^2-4(1+c)=0$ ，

解得 $c=0$ ，

所以直线的方程 $2x+y=0$

【总结】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.

类型三过定点直线系方程在解题中的应用

过定点直线系方程在解题中的应用

解题步骤：

第一步首先设出过定点 $(x_0,y_0)$ 的直线系方程： $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ （ $A$ , $B$ 不同时为 $0$ ）；

第二步根据已知条件求出其结果.

例 3 求过点 $P(-1,4)$ 且为圆 $(x-2)^2+(y-3)^2=1$ 的切线的方程．
【解析】
分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.

解析：设所求直线的方程为 $A(x+1)+B(y-4)=0$ （其中 $A$ ， $B$ 不全为0），

整理得 $Ax+By+A-4B=0$ ，

因为直线 $l$ 与圆相切

所以圆心 $C(2,3)$ 到直线 $l$ 的距离等于半径 $1$

故 $\dfrac{|2A+3B+A-4B|}{\sqrt{A^2+B^2}}=1$ ，

整理得 $A(4A-3B)=0$ ，即 $A=0$ （这时 $B\neq 0$ ）或 $A=\dfrac{3}{4}$ （这时 $B\neq 0$ ）

故所求直线 $l$ 的方程为 $y=4$ 或 $3x+4y-13=0$

【点评】对求过定点 $(x_0,y_0)$ 的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ ，注意的此方程表示的是过点 $P(x_0,y_0)$ 的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．

类型四过两直线交点的直线系方程在解题中的应用

过两直线交点的直线系方程在解题中的应用

解题步骤：

第一步首先设出过直线 $l:A_1x+B_1x+C_1=0$ （ $A_1$ ， $B_1$ 不同时为 $0$ ）与 $m:A_2x+B_2x+C_2=0$ （ $A_2$ ， $B_2$ 不同时为 $0$ ）交点的直线系方程为： $A_1x+B_1x+C_1+\lambda(A_2x+B_2x+C_2)=0$ （ $\lambda \in R$ ， $\lambda$ 为参数）；