为什么八位二进制数表示范围为-128~+127？—2018-08

在昨天的文章中我们讲解了什么原码反码补码，以及计算机中为什么要使用补码，在文章最后的时候我们说了一个问题，八位二进制（在Java中就是byte类型）的取值范围是从-128到127，为什么呢？

为什么127+1的结果是-128？我们今天来详细说明一下。

昨天虽然我们介绍了什么是补码，但是并没有说明补码的由来，今天我们来讲解一下。

在这里要说到一个概念 模，“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。 时钟的计量范围是0～11，模=12。表示n位的二进制数计量范围是0～2^{(n)-1，模=2}(n)，八位二进制数的模为2^8 。

任何有模的计量器，均可化减法为加法运算（这就是计算机二进制运算的原理）。假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：一种是倒拨4小时，即：10-4=6；另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6 。在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再加1成为100000000(9位），但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的模为2^8。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了，把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

对一个正数的原码取反加一，得到这个正数对应负数的补码。例如~6=-7，而且加一之后会多出一个八进制补码1000 0000，而这个补码就对应着原码1000 0000，数字位同时当做符号位即-128 。

所以根据以上我们可以理解为什么八位二进制数表示范围为-128~+127。

八位二进制正数的补码范围是0000 0000 ~ 0111 1111 即0 ~ 127,负数的补码范围是正数的原码0000 0000 ~ 0111 1111 取反加一（也可以理解为负数1000 0000 ~ 1111 1111化为反码末尾再加一）。 所以得到 1 0000 0000 ~ 1000 0001,1000 0001作为补码，其原码是1111 1111（-127），依次往前推，可得到-1的补码为1111 1111，那么补码0000 0000的原码是1000 0000符号位同时也可以看做数字位即表示-128，这也解释了为什么127（0111 1111）+1（0000 0001）=-128（1000 0000）。

我不能保证每一个地方都是对的，但是可以保证每一句话，每一行代码都是经过推敲和斟酌的。希望每一篇文章背后都是自己追求纯粹技术人生的态度。
永远相信美好的事情即将发生。