基础量子物理科普（3）运动和位置不能同时精确测量？

作者: Never肥宅 | 来源:发表于2020-03-26 15:22 被阅读0次

基础量子物理科普（3）运动和位置不能同时精确测量？
物理学分析模型的局限性
小普陀| 读《上帝掷骰子吗？量子物理史话》
量子效应如何改善人工智能--Kaczmarek
2022-03-09
一定要找到这样一件热爱、不计成本、愿意全身心投入去做的事！
测量方式的重要性
上帝掷骰子吗？
《宇宙的琴弦》之开篇：构成宇宙的最小粒子是什么？
基础量子物理科普（9）自由粒子

粒子的动量分布概率

类比位置分布用r做自变量，动量分布自然是用动量p做自变量
$\phi(r)$ 按平面波展开得到
$\phi(r)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}}\int \phi(p)exp[-i\boldsymbol{p · r/h}]d^3\boldsymbol p$
其逆变换为
$\phi(p)=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}}\int \phi(r)exp[-i\boldsymbol{p · r/h}]d^3x$
如果入射波是一个波包，每个傅里叶分波都会沿着一定的角度初涉，如果我们能过探测不同方向的衍射波强度分布，就能得到衍射前粒子的动量分布，即一个粒子在 $\theta$ 方向被探测到的概率 $\propto|f(\theta)|^2\propto|\phi(\boldsymbol p)|^2$
同理我们的概率应当有归一化，即
$\int _{-\infty}^{+\infty}|\phi(\boldsymbol p)|^2d^3\boldsymbol p=1$

动量和位置的不确定度

如果能精确测量动量

假设我们能绝对精确的测量一个运动粒子的动量 $\boldsymbol{p_0}$ ，由之前我们的表达式可以计算其位置分布的波函数应该为
$\phi_\boldsymbol{p_0}(x)= exp[i\boldsymbol{p_0}x/h]$
所以在各点的相对概率完全相同（复函数的模不变），因此位置是完全不确定的。

如果能精确测量位置

如果精确测量位置呢，那么位置不确定度为0，其波函数为 $\phi_{x_0}(x)=\delta(x-x_0)$
傅里叶展开可以得到
$\phi_{x_0}(\boldsymbol p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{x_0}(x)e^{-ipx/\hbar}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}e^{-ix_0\boldsymbol p/\hbar}$
也就是说动量的相对概率完全相同，因此动量完全无法测量。

不确定性关系

刚才考虑了完全精确测量某个量的极限情况，在一般情况下呢，总之经过一波证明可以得出
$\Delta x · \Delta p \geq \hbar /2$
也就是位置和动量不能同时具有完全确定的值，是波粒二象性矛盾的反应。
不确定性关系可以帮助我们估计物质结构不同层次的特征能力
比如
$E \approx (\Delta p)^2/2m \approx \frac{\hbar^2}{2m(\Delta x)^2 }$
然后把不同粒子的 $\Delta x$ 带入即可

平均值

位置
位置x的平均值十分好求，就是
$\bar {x} =\int_{-\infty}^{+\infty}|\phi(r)|^2xd^3x$
势能
势能的平均值
$\bar V = \int_{-\infty}^{+\infty}|\phi(r)|^2V(r)d^3x$
动量
对于动量的话，我们知道
$p = \hbar / \lambda$
是与波长有关的，而波长一定是在某一个长度中才有意义，而不是某一点。因此某一点的动量也是没有意义的。那么我们便不能通过把各点的概率分布和动量分布积分起来来得到平均动量。
$|\phi(p)|^2d^3p$ 为粒子动量在 $(p,p+dp)$ 区间的概率，因此可以借助 $\phi(p)$ 来计算动量平均值
$\bar p =\int_{-\infty}^{+\infty}|\phi(p)|^2pd^3p - \int d^3p\phi^*(p)p\phi(p)=\int d^3 x \phi^*(r)(-i\hbar\nabla)e^{ipr/\hbar}\phi(p)$
$\bar {p} = \int d^3 x \phi^*(r)(-ih\nabla)\phi(r)$
其中 $\nabla$ 是梯度算符。
如果记 $\hat{p}=-ih\nabla$ ，为动乱算符
则 $\bar{p} =\int\phi^*(r)\hat{p}\phi(r)d^3x$
动量和波长的倒数成正比，动量平均值和波函数的梯度相关也印证了这一点。
动能
动能 $T = p^2/2m$
$\bar{T} = \int\phi^*(r)(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2)\phi(r)d^3x=\int\phi^*(r)\hat{T}\phi(r)d^3x$
其中 $\hat{T}$ 为动能算符
角动量
$l = \boldsymbol r \times \boldsymbol p$
$\bar{l} = \int\phi^*(\boldsymbol r) \boldsymbol r \times \boldsymbol{}{\hat{p}}\phi(\boldsymbol r)d^3x= \int\phi^*(\boldsymbol r) \boldsymbol{\hat{l}}\phi(\boldsymbol r)d^3x$
其中 $\boldsymbol {\hat{l}}$ 为角动量算符
其三个分量为
$\hat{l}_x = y \hat{p}z - z \hat{p}_y = - i \hbar (y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y})$
$\hat{l}_y = z \hat{p}x - x \hat{p}_z = - i \hbar (z \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial z})$
$\hat{l}_z= x \hat{p}y - y \hat{p}_x = - i \hbar (x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial z})$
其他的算符
Hamilton量 $H=T+V$ 的算符
$\hat{H} = - \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla^2 + V(r)$
一般来讲，任何一个力学量A的均值都可以表示为
$\bar{A} = \int\phi^* \hat{A}\phi d^3 x = (\phi,\hat{A}\phi)$

基础量子物理科普（3）运动和位置不能同时精确测量？
粒子的动量分布概率类比位置分布用r做自变量，动量分布自然是用动量p做自变量按平面波展开得到其逆变换为如果入射波是...
物理学分析模型的局限性
量子力学的位置和速度不能同时确定，个人认为，是由于人们对高速运动的粒子的运动模式建立的分析模型决定的。因为变化太快...
小普陀| 读《上帝掷骰子吗？量子物理史话》
书名：《上帝掷骰子吗？量子物理史话》作者：曹天云生物化学和电子工程专业内容：科普类读物之量子物理发展史 ...
量子效应如何改善人工智能--Kaczmarek
量子效应被认为是电子之间的干扰，尽管经典物理学不能真正解释它，但它需要解释量子力学。量子力学是亚原子粒子运动和相互...
2022-03-09
量子和粒子物理学前天开始用听的方式看这本科普书《量子和粒子物理学何以解释一切》。是这书名吸引了我的注意力。遗...
一定要找到这样一件热爱、不计成本、愿意全身心投入去做的事！
《上帝掷骰子吗---量子物理史话》，一本有关量子物理发展历史的科普读物，有关物理知识的内容，看的囫囵吞枣，不知所云...
测量方式的重要性
物理学家早就知道，光量子或光子会像粒子或波一样运动，而光量子呈现粒子性还是波动性取决于对它们的测量方式。不过现在...
上帝掷骰子吗？
hello~大家好呀，今天还是来分享这本物理小科普~ 这本书不仅仅是量子物理的生动科普，更令人感受到哲学在物理大厦...
《宇宙的琴弦》之开篇：构成宇宙的最小粒子是什么？
今天开始，我将为大家陆续解读一本解密我们神秘宇宙的科普作品。当代物理学家们在广义相对论和量子力学的基础上物理学们提...
基础量子物理科普（9）自由粒子
在经典理论中，一个自由粒子（处处势能为0）会做匀速直线运动（速度可以为0），但是在量子力学中看上去似乎没那么简单更...