数学思维运动变化之道法术器

作者: 道悅 | 来源:发表于2022-10-09 20:09 被阅读0次

本文先前首发在许兴华老师的微信公众号，作了少许修订后重发在简书。

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文章内容如下：

“知变化之道者,其知神之所为乎?” --《周易•系辞上》

”道之委也，虚化神，神化气，气化形，形生而万物所以塞也。道之用也，形化气，气化神，神化虚，虚明而万物所以通也。” --《谭子化书》

”夫兵形象水，水之形，避高而趋下；兵之形，避实而击虚；水因地而制流，兵因敌而制胜。故兵无常势，水无常形，能因敌变化而制胜者，谓之神。” --《孙子兵法·虚实篇》

“取势、明道、定法、优术、成器”

动则生变，辩证法的运动发展观，运动变化是绝对的普遍的，世事无常，变动不居。不仅仅是物质的运动变化，思维也是运动变化的，数学解题的每一步本质上也都是变化。思维是统帅是灵魂，数学解题的每一步变化都是由(数学)思维的运动变化而驱动主导的。

事事洞明皆学问，道隐无名，都隐藏有道理，数学思维的运行变化更是有大道。那数学思维运动变化的大道是什么？也就是本质规律是什么？

数学思维运动变化的三个方面(维度)与四个层次

三个方面

运动变化包括心、行、物三方面。

心就是心意识；行就是外界可见的外显的行动，行为操作、加工处理；物就是客体，就是我们需要变化改变的事物(对象)和问题。

万化由心，宇宙在手，从思维主体(人)出发，由内(主体)到外(客体)，驱动变化：从心动到行动，再到事物的变化或对事物在认识、反映、刻画方面的变化。

1.心动，心的变化：作为智慧生灵，心第一才是真正正确的，心外无物，心能转物，心生万物，心生万法。心动，(主体的)心意识(思维)的变化，思维念头的生灭，具体就是思维目标(对象)、思维方向、思维视角、思维起点、思维形式、思维内容、思维特性品质(思维广度、思维深度、严谨性、灵活性、批判性、系统性)的变化。运用之妙，存乎一心，风动幡动，归根结底是心动。心解放自由，升华悟道融汇贯通，心结打开了，才能心生万法，灵动自然。

2.行动，解题行动在操作处理上的变化：做什么、怎么做。例如要对代数式进行怎样的变形，要变代数式的哪一部分。

3.物动，事物的变化：心与行的变动，最终体现在(客体)事物&问题的变化上面，对事物认识的升华上。

注：这里不从心理学上区分心意识与思维的区别，而是把它们看成相同。

四个层次

我们要精通变化，领悟掌握变化之道法术器，道、法、术、器是4个层次。

1.变化之道：形而上者谓之道。万化由心，大化无方，唯变所适，随机应变，辩证变通，灵动自然。思维运动变化之道(运动变化模式)契合道德经“反者道之动，弱者道之用”与太极的循环往复、进退互化、以柔克刚(柔弱胜刚强)、圆融无碍之道。

图1

2.变化之法：变化时遵循的蕴含的法则、原则、规律、过程、模式。变化的心法(思维心法)，易经三易:变易、简易、不易(变中有不变)，还包括：思维策略、思维原则、元认知。

3.变化之术：以术辅道，变化之术主要是数学思维方法论中的各种数学思维方法与数学思想。思维方法主要指引思维形式上怎么变(怎么想)，而思想方法主要指引思维内容上怎么变(想什么，要做什么)，最终引导我们产生“变化”方案：变化的步骤顺序、变化的方向与意图(变化的需求，想要变成什么，随需而变)、变化的目标对象(变哪些对象，改变事物的哪一部分)、变化的时机、变化遵循的模式与进行变化的具体行动操作、变化的成本代价与需要的资源。

以上统下，以道御术，变化之道与变化之法对变化之术有诱发、产生、引导、护持、调控的作用，对思维形式、思维内容、思维方向、思维视角、思维起点、思维特性品质的变化切换起到直接的诱发、引导、调控作用。

4.变化之器：形而下者谓之器，器就是器物、工具。变化之器就是帮助我们进行具体的行动操作(变化、改造)的工具，在数学中就是各种数学知识，包括数学概念、定理、数学方法，例如配方、因式分解、平方、开方、加减乘除、分类、分组、组合、分拆、割补。动作动词思维加发散思维，多想想动作、动词，多问问自己还能怎样变化。道在日用，多想想日常生活中的各种具体的行动操作及其概念，把它们迁移到其他领域的问题解决中，例如数学解题中。

变化之道、法、术对变化之器也就是数学知识具有激活、组织、编排、筛选等作用。

整个数学思维方法论其实是研究变化的技术与艺术，研究数学中的变化之道法术。数学思维方法论包括各种思维方法和各种思想方法、思维策略、原则、元认知。在实践运用中，它们的主要作用就是在一定程度上帮助我们消除思维障碍，可以把它们看成一套思维话术&思维引导术，用来启发指导我们心(心意识)与行(行动、解题操作)上的变化，它们能够循循善诱地让我们比较容易地、比较自然地、自觉地想到如何变化，想到变化方案。

解题举例

数学变化之术和变化之器很多，远超孙悟空的72变，可以说不计其数，例如变化之术：重构、重组、重表达、多元表征切换、语义转译与引申、转化、转换、变换、代换、变形、配凑、割补、组合、分解等。

重表达就是换另一种方式把事物重新表达&重新描述&重新刻画。例如解析几何的出现，可以理解为运用了"变基"思想，以点的位置(坐标)为基础而不是以长度等为基础来重新对几何对象进行表示与描述。重表达往往肇始于不同的观点与眼光，不同的场景需求，不同的something。

这里讲下语义转译在数学解题中的应用，转译就像中英文翻译一样，把题目的意思换一种说法或推理引申一下。

第一题

如图2。

图2

解：

第一问，符合要求的集合可为：｛1,2,3,5,8｝

构造这个集合时，选择集合元素的策略就是递归使用a+b=c和a+b=c+d模式中的a、b、c，排除d。可见这是运用与a+b=c+d模式相反相悖的反模式。

第二问，根据题目描述，“兴奋”就是“a+b不等于c+d”。“a+b不等于c+d”，这句话从表面理解，似乎没有什么有助于我们解题的信息，显然这句话不是废话，不能轻易放过它，要想法利用它来解题，但要利用上这个条件信息，还需要对这句话做些深加工处理，如IT系统中的数据挖掘一样，要深入挖掘它蕴含的内在深意。

研几入微，如果换一种形式的说法(转译)或稍微深入推理引申一下，就是:两个数的“和”均不相同(不相等)。既然“和”均不相等，就可用组合计数得到(不同)“和”的个数，由“和”的个数可以估算最大和的范围(最小值)，故得到第二问的如下证明。

第二问证明：从m个数的兴奋集合中任取两个数求和，这些和均不相同，根据组合计数，这些不同和的个数为 $C_{m}^2$ = $\frac{m^2 -m}{2}$ 。利用极端思想考虑极端情况：最小和 $\geq$ 1+2=3，故最大和 $a+b\geq$ $2+\frac{m^2 -m}{2}$

假设 $a>b$ ，由抽屉原理或 $2a>a+b\geq$ $2+\frac{m^2 -m}{2}$ ,可得 $a>$ $1+\frac{m^2 -m}{4}$ > $\frac{m^2 -m}{4}$ ,得证。

第二题

题目如图3。

图3

原创方法如图4。

图4

“反(返)者道之动”、“曲则全,枉则直“，这道题，思维运动变化，辩证思维，从具体到抽象，从特殊到一般，从整体到个体，从直接到间接。在抽象、一般、个体层面研究清楚之后，再从抽象返回到具体，一般到特殊，个体(上升)到整体。螺旋式循环往复，进退互化。契合辩证法的对立统一，相互联系，相互转化，否定之否定。

“弱者道之用”，以柔克刚，柔弱胜刚强，研几入微，从柔弱、柔软、微妙处入手寻找问题突破口进行变化。对这道题，直接对整体求和比较困难，看不清整体，所以先切换思维视角，以退为进，退转到研究个体|aj-ai|及其在所有排列中出现的次数，对个体的相关研究相对容易些。从这题先从具体退转变化到抽象，从特殊转到一般，因为对这题，感觉从抽象、一般情况入手反而简洁一些。

在这道题的思维过程中，对思维视角的变化再补充一些阐述，如下图5。

图5

第三题

已知 $x、y均为有理数，且满足\sqrt{x} +\sqrt{y} =2+\sqrt{x+y} 。$ 求 $x、y的解$ 。

1）先猜后证：直觉思维，可猜 $\sqrt{x} 、\sqrt{y} 、\sqrt{x+y}$ 均为有理数，下面是其证明。

$由(\sqrt{x} +\sqrt{y} )^2=(2+\sqrt{x+y})^2\Rightarrow$ $\sqrt{xy} =2+2\sqrt{x+y}$

$\Rightarrow (\sqrt{xy} )^2=(2+2\sqrt{x+y})^2$ $\Rightarrow \sqrt{x+y}=\frac{xy-4x-4y-4}{8}$ $\Rightarrow \sqrt{x+y}为有理数$ 。

由 $\sqrt{x} +\sqrt{y} =2+\sqrt{x+y}\Rightarrow \sqrt{x} +\sqrt{y} 为有理数$ 。 $\sqrt{x} -\sqrt{y} =\frac{x-y}{\sqrt{x} +\sqrt{y} }$

$\Rightarrow \sqrt{x} -\sqrt{y} 为有理数$ 。

$\sqrt{x} =\frac{(\sqrt{x} +\sqrt{y} )+(\sqrt{x} -\sqrt{y} )}{2}$ ， $\sqrt{y} =\frac{(\sqrt{x} +\sqrt{y} )-(\sqrt{x} -\sqrt{y} )}{2}$ $\Rightarrow$

$\sqrt{x}、 \sqrt{y}均为有理数$ 。

注：有理数的加减乘除，结果为有理数。

2）令 $\sqrt{x} =a，\sqrt{y} = b,a、b为有理数$ 。由 $\sqrt{x} +\sqrt{y} =2+\sqrt{x+y}\Rightarrow$

$a+b=2+\sqrt{a^2 +b^2}$ ，令 $\sqrt{a^2 +b^2} =c，c$ 为有理数。 $\Rightarrow a+b=2+c,a^2 +b^2 =c^2\Rightarrow$ $(a+b)^2-2ab=c^2\Rightarrow ab=2+2c$ .

构造以 $a、b$ 为根的一元二次方程 $m^2 -(2+c)m+2+2c=0$ .该方程的判别式必为有理数的平方， $\Delta =(2+c)^2-4(2+2c)=d^2,d$ 为有理数。

化简变形 $\Rightarrow$ $(c-2+d)(c-2-d)=8\Rightarrow$

可令 $c-2+d=t,c-2-d=\frac{8}{t},t$ 为大于 $2\sqrt{2}$ 的有理数。

$\Rightarrow c=\frac{t}{2} +\frac{4}{t} +2$ , $d=\frac{t}{2} -\frac{4}{t}$

代入一元二次方程可解得 $a=2+\frac{t}{2},b=2+\frac{4}{t}$ 或 $a=2+\frac{4}{t} ,b=2+\frac{t}{2}$ 。

$由x=a^2 ,y=b^2可得x、y的解为$ ：

$x=\frac{t^2}{4} +2t+4,y=\frac{16}{t^2}+\frac{16}{t} +4$

或 $x=\frac{16}{t^2}+\frac{16}{t} +4,y= \frac{t^2}{4} +2t+4$

$t为大于2\sqrt{2} 的有理数。$

这道题，先直觉猜想找突破口，就是”用弱”。再换元，构造一元二次方程，这些都是在不停地变化。

数学思维中用弱(怀柔)与用强(持强)的初步解读

“用弱“与“用强”是辩证法的一对矛盾范畴，对立统一。理解了”有无”思想(有生于无)、形而上与形而下、思维与知识，心与物，基本就明白”用弱”与”用强”的区别与联系。

用弱：偏向形而上、心意识(思维)、思想、谋略手段、智巧、软件。它们的特性一般是内隐的、难以捉摸的、微妙的、无形无定形、无相、劳心的、善变的、灵活的、善于顺应本质的、顺势而变(为)&无为、看似柔弱柔软、看似虚无的。

“弱者道之用”，在解决数学问题的思维活动中，从简单的、简洁的、薄弱的、熟悉的、关键(核心)的、主要矛盾集中的、不和谐的、特征丰富明显的地方入手，这些都是“用弱”。

用强：偏向形而下、知识、行动、蛮力、物质、工具器物、硬件。它们的特性往往是实在的、外显有形的、可视的、容易掌握理解的、劳力的、固化的、有为、看似刚强的。

“上善若水，水善利万物而不争。处众人之所恶，故几于道”。思维智慧、思维之道如水，思维是内隐的，看似无形无相，看似柔弱，但柔弱胜刚强，心生万法，心生万物，各种数学知识就是思维活动创造(发明发现)出来的。

在前面讲的数学思维运动变化的道法术器4个层次中，从道到法到术到器，逐步从偏向用弱到偏用强，特别是变化之器，就是各种数学知识，它们是解决数学问题的利器，强有力的工具。没有掌握足够的数学知识，即便思维能力强，巧妇难为无米之炊，碰到问题，往往一时也无可奈何。

“劳心者治人，劳力者治于人”，在解决数学问题的过程中，思维才是核心、主人主导者、统帅指挥和智慧的灵魂，思维智慧如水一样，无孔不入寻找问题突破口(用弱)，如水一样柔和无定形，善变智巧，随物赋形顺应问题本质，靠它激活、统摄、组织、编排、解释、调度、创造（发明&发现）、筛选（选择）各种数学知识来解决问题，利用数学知识，把数学知识转化为解题能力。一些学生掌握了丰富的数学知识，但在解决数学问题的当下就是想不出解题方法，想不起来使用哪些数学知识。众所周知，这往往是”用弱” (思维能力)的功夫修炼不够。思维智慧思维方法论是解题方法之母，不知母，焉知子，当然就不容易想出解题方法。数学教育领域缺少足够通透系统的数学思维方法论是客观原因。

用弱与用强和谐结合协调发展，不可偏废，思维能力生长与知识体系构建需要兼顾发展。

变化论与构成论及变化模式

变化，有破有立，有生有灭，生灭相续。变化论(生成、泯灭)是基于动态的观点，而构成论是静态的，实践中应该动静结合。

运用变化论，多探究来龙去脉，问问能变出什么、能生成什么(生成演化)、是由什么变化而来的(溯源)，变化时的变化模式(生成模式和泯灭模式)是怎样的？如何发现或预见变化模式，如何合情合理地构想出变化模式？

补充阅读

本文引用了到道德经、哲学辩证法、佛经、易经的一些内容，阅读本文，需要具有一定的文化底蕴，因为构建通透系统的数学思维方法论需要众多学科融合，本人在简书和今日头条上的系列数学思维文章，基本上都具有类似的要求，有些文章还涉及到软件设计、物理、化学、生物、思维学、心理学、认知学、兵法、刑侦、语文的一些思想和核心内容。

阅读者如果碰到不懂的内容，可以自行延伸去补充学习相关内容，理解后再来阅读本文。例如本文引用了道德经的“反者道之动，弱者道之用”、”道法术器”等内容，阅读者如果不懂其涵义，网上搜索一下就有了。另外，可以阅读本人的其他文章，把这些文章融汇贯通地理解。

这里为了方便读者，推荐一些关于道德经的解读材料，如下。

易经的三易(简易、变易、不易)和辩证法的学习材料自己去搜索，就不推荐了。

把上面内容学习理解之后，下面对本文内容做一些浅显的阐释。

本文内容的浅显阐释

”道法术器”4个层次，”道”是最根本的本质的规律，就如宪法一样，是最上层的根本大法。思维是运动变化的，心猿意马（这里对心猿意马作中性理解，不作贬义），一会想这，一会想那。

数学思维运动变化之”道”(思维运动变化的本质规律、基本模式)就是：反者道之动，弱者道之用。

”反者道之动”，简单理解就是绕圈子打太极，绕来绕去地运动变化。转圈圈绕过去再绕回来，循环往复地运动变化。

知晓了这个运动变化之道，就要合道。本文第二题，我们先产生从具体到抽象变化的思维念头，也就是从具体变化到抽象，有这个念头之后，我们就从200变到2n，如问题的解法，从整体之和退转到研究局部个体，也是变化，迂回绕行。把2n情况下的平均数求出来之后，最终令n=100绕回到最初的200，得到所求的平均值。

绕圈圈(运动变化)也要有策略有讲究，否则胡乱地绕把自己绕晕就不好了。 ”弱者道之用”就是合情合理绕圈圈的策略：用弱，顺势而为地绕圈圈，如水流动绕开阻挡，顺势迂回流淌一样。

本文第二题，从具体变化到抽象，从整体到个体，都是用弱，因为对本题，抽象情况、个体情况是问题的薄弱点突破口，从抽象情况、个体情况入手切入，容易得出本题的解题方法和平均值。

从”道”到”法“，好比从宪法这个上层的根本大法派生出下层的其他法律，其他法律不能违背宪法，这就是以上统下。从”法”到”术”到”器”，好比从其他法律再派生出更具体的更细的法律条文和行为制度，这也是以上统下。从”道”到”法“到术”到”器”，依层以降，也好比从树根，到树干、树枝、树梢。

“向对立面转化”的辩证解读

辩证法”矛盾对立统一，相互联系、相互转化、向对立面转化“，这里讲一下本人对“向对立面转化”的辩证解读。

”向对立面转化”，就是”反者道之动”的反。例如从抽象到具体或从具体到抽象，从一般到特殊，从开到关，从某一状态转到其相反状态。

根据转化的(destination)目标事物(对象)进行分类，转化可分为多种类型。”向对立面转化”是相反转化，转到对立的事物，但这只是其中一种转化类型，还有不是向对立面转化的，例如转到相关、相连、相应、相近、相似、相因、相生(生克制化)、相成的事物等。例如需要手工磨出一根绣花针，此时你会找几根尺寸和绣花针最接近的铁棒，从这些铁棒之一入手作为起点，逐步磨出（变出）绣花针，也就是我们的转化策略转化类型是”相近”转化。

矛盾是推动事物运动发展的内在动力，它具有普遍性本质性，因此，和相近转化、相似转化等其它转化相比，“向对立面转化”(相反转化)具有普遍性、典型性、终极性。

数学思维运动变化之道法术器

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