| 词汇 | 解释 |
|---|---|
| infinity | 无穷性，∞ |
| orthogonality | 正交性 |
| 维度球 | 高维空间的球体 |
| unit ball/cube | 单位球/方体 |
| 维积 | 为了简化描述把高维几何体体积称为维积 |
| 赤道 | d维轴xd为0时分割维球产生的d-1维区域 |
| Cartesian/Polar coordinate | 笛卡尔/极坐标系 |
维度伊始
infinity
Ancient cultures had various ideas about the nature of infinity. The ancient Indians and Greeks did not define infinity in precise formalism as does modern mathematics, and instead approached infinity as a philosophical concept.
古代人类对无限性有各种各样的看法。古印度人和希腊人并没有像现代数学那样用精确的形式主义来定义无限，而是以哲学的概念接近无穷。哲学与科学总是相互扶持，在公元前400多年的希腊，哲学家首次以数学的角度记录了无穷性——Zeno悖论。
无限的思想不仅对数学意义深远，在天文学中也有深究的必要。宇宙是否在空间上无限大，如果是，大爆炸或者大膨胀就是无稽之谈；如果不是，那宇宙外面又是什么？又有说，如果宇宙是无限大的，那么当所有的原子用尽了所有的排列组合方式，宇宙中就会出现另一个一模一样的你。且不说原子的个数问题，就算原子是无限多的，那成为你的因素就是有限的吗？数据维度的无穷性足以造就独一无二的你。或许一只猴子在键盘上胡乱敲击可以写完莎士比亚的所有著作，但是牵扯到∞的你我，绝对不是原子的随机排列组合可以造就的。
orthogonality
高维空间问题在现今的哲学及科学体系中还没有一个令人十分满意的答案，但在数学领域，我们已经可以对高维空间进行建模、描述。这都来源于现有维度的正交性，如我们常用的笛卡尔坐标系，维度的正交性可以有效地支撑整个空间体系。
高维空间的建模要依赖于正交性，即使三维空间中无法找出这样一条与其他三条坐标轴正交的轴，我们也可以假设出来。这样四维空间中两点的距离就可以定量表示为：
why i & o?
我在这里列出这两点性质是十分必要的，一些数学公式的推导，不得不用到∞来简化计算，虽然十分危险，但确实有效；正交性有利于理解文中所列的维度理论。
单位维度球的维积
现象
随着维度的增加，unit ball的维积逐渐减小趋于零.
推理
经验入手，我们从可描述的维度模型观察unit ball与unit cube：
直观地看，二、三维中，由于正交性，应用空间中两点的距离公式，很容易得出unit cube顶点到unit ball表面的距离。在四维时，根据维度的正交性依然可以推断出——u-c的顶点已经触及到了u-b表面。随着维度的增加，u-c的维积始终为1，其各个表面到达u-b表面的距离始终为1/2，但其顶点越来越多，且都出现在u-b之外。这意味着u-b的所包裹的维积正在逐渐减小，即其自身的维积由于维度的增加而逐渐减小。
在这样一个推论中，我们并没有考虑到u-b与u-c之间的空隙随维度的增减，也许在u-c的触角越来越多地出现在u-b之外时，两者之间的空隙却在逐渐增大呢？维度的增加或许使u-b不再封闭呢？这些是我个人的考虑，我们暂时假设推论正确，看其能否在数学上站稳脚跟走下去。
验证
在笛卡尔坐标系及极坐标系中，分别使用积分求得单位球维积:
-
Cartesian coordinate
-
Polar coordinate
两个系统中所得到的维积在理论上是相同的。由极坐标系中的结果可以看出——d维中单位球维积等于其表面积的1/d倍。这个关系将问题的重点转移到表面积的求取上，为此，我们又不得不回到复杂的笛卡尔坐标系中。
为了计算的便利，我们在笛卡尔系中将单位球的半径r延伸为∞得到另一个维积：
已知：
由对称性简化：
与此同时，在极坐标系中得到：
对于给定的维度d，记：
其中，Gamma函数是x的非中间值阶乘函数泛化，𝜞 (x) = (x-1) 𝜞 (x-1),𝜞 (1) = 𝜞 (2) = 1,𝜞 (1/2) = √𝝅。由此，我们得到了A(d)与其维度d的函数关系：
很容易计算出V(2) = 𝝅，A(2) = 2𝝅，即对应2维中单位圆的面积与周长；V(3) = 4𝝅/3，A(3) = 4𝝅，对应3维中单位球的体积与表面积。在推导过程中引入∞得到A(d)与维度的关系，这是一个实用但危险的技巧。
维度d在维积的计算中分别作为分子𝝅的指数、分母中的阶乘，这表明当维度d趋于∞时，V(d)趋于0。
结论
对于给定的维度d，维度球的体积与rd成正比；对于给定的半径r，维度球的维积与空间维度d成反比。
维度球的维积分布
维积集中于赤道、外边缘 & 表面积集中于赤道
前文我们提到给定的维度d中，维度球的体积与rd成正比，这是因为单位维度球可以通过以r为对角线元素的对角矩阵经由指定的线性变换而映射到半径为r的维度球上。这里我们记维度d中的单位球维积为V(d)，其他非单位球的维积为Volume(r)。
d维球的赤道，即 {x | |x| ≤ 1, xd = 0} 所表示的区域，它是一个d-1维的球。在三维中，赤道是一个二维的圆，其在三维中的表面积即是在二维中的维积；在四维中，赤道是一个三维的球，其在四维中的表面积，即是三维中的维积。
由此，在求解d维中的表面积时，我们可以降维处理，计算其在d-1维中的维积。求得了表面积，我们就可以在d维中通过对xd积分求得对应部分的维积。而在计算中发现，d维球的维积几乎都集中在xd = 0与xd = 𝛆之间，𝛆与维度d有如下关系：
在d逐渐增大时，𝛆最终减小到一个非常小的数值，也就是这样的高维空间中，球的维积都集中在赤道附近薄薄的一层里。我们可以通过计算xd大于𝛆的那部分维积与xd介于0到𝛆之间那部分维积的比率来证明这个这个结论。
运用同样的办法，我们会发现，高维球的维积集中于外边缘薄薄的一层，表面积集中于赤道，这两点与维积集中于赤道是相通的，因为维积和表面积是可以通过纬度转化的，这是推理单位球维积时得出的结论。
我们费了巨大的周折得出这些结论，并不是毫无意义的。我们可以通过维积分布来探寻数理统计的问题，探讨高维空间的高斯分布等，甚至，基于我个人的观点，我们还可以利用这些研究来确认宇宙及宇宙内事物所处的维度，不管是弦理论还是传统理论，我们都可以从数学的角度给出评判。
高维点的分布
随机均匀地在维度球表面生成点
基于上面的讨论，我们来思考这样一个问题——如何在维度球表面生成随机均匀的点？
我们不妨先考虑二维单位圆的情况，这是我们在初高中及大学都十分熟悉的体系。为了覆盖整个圆，我们选择在区间[-1, 1]之间随机生成点，这样随机生成的点其实均匀地分布在边长为2的正方形中，足以覆盖整个单位圆。之后，我们可以通过圆周上一点与圆心的连线来把落在线上点映射到圆周上，这时第一个子问题就出现了：圆心到正方形顶点与到正方形边中点的距离是不同的，这样的映射将使圆周上的点不再符合随机均匀的要求。很明显，我们可以通过剔除圆外的点再做映射来解决这个子问题。然而，当维度d取一个较大的值时，维度球内几乎不会再出现点，所有的点都随机均匀地跑到圆外了！
那我们如何在高维的情况下去解决这个问题呢？没错，高斯分布。如果我们生成的每个点其坐标都是高斯变量，那点就不会如此这般的出现在球外了。每个点(x1, x2, x3 , ..... , xd)的概率分布是：
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