范数

1、核范数||.||_*：是指矩阵奇异值的和，目的是约束Low-Rank（低秩）

核范数||W||*是指矩阵奇异值的和，英文称呼叫Nuclear Norm。这个相对于上面火热的L1和L2来说，可能大家就会陌生点。那它是干嘛用的呢？霸气登场：约束Low-Rank（低秩）。OK，OK，那我们得知道Low-Rank是啥？用来干啥的？

我们先来回忆下线性代数里面“秩”到底是啥？举个简单的例子吧：

对上面的线性方程组，第一个方程和第二个方程有不同的解，而第2个方程和第3个方程的解完全相同。从这个意义上说，第3个方程是“多余”的，因为它没有带来任何的信息量，把它去掉，所得的方程组与原来的方程组同解。为了从方程组中去掉多余的方程，自然就导出了“矩阵的秩”这一概念。

还记得我们怎么手工求矩阵的秩吗？为了求矩阵A的秩，我们是通过矩阵初等变换把A化为阶梯型矩阵，若该阶梯型矩阵有r个非零行，那A的秩rank(A)就等于r。从物理意义上讲，矩阵的秩度量的就是矩阵的行列之间的相关性。如果矩阵的各行或列是线性无关的，矩阵就是满秩的，也就是秩等于行数。回到上面线性方程组来说吧，因为线性方程组可以用矩阵描述嘛。秩就表示了有多少个有用的方程了。上面的方程组有3个方程，实际上只有2个是有用的，一个是多余的，所以对应的矩阵的秩就是2了。

OK。既然秩可以度量相关性，而矩阵的相关性实际上有带有了矩阵的结构信息。如果矩阵之间各行的相关性很强（mine：这里应该是认为每列向量是一个多维特征，行对应维度），那么就表示这个矩阵实际可以投影到更低维的线性子空间，也就是用几个向量就可以完全表达了，它就是低秩的。所以我们总结的一点就是：如果矩阵表达的是结构性信息，例如图像、用户-推荐表等等，那么这个矩阵各行之间存在这一定的相关性，那这个矩阵一般就是低秩的。

如果X是一个m行n列的数值矩阵，rank(X)是X的秩，假如rank (X)远小于m和n，则我们称X是低秩矩阵。低秩矩阵每行或每列都可以用其他的行或列线性表出，可见它包含大量的冗余信息。利用这种冗余信息，可以对缺失数据进行恢复，也可以对数据进行特征提取。

好了，低秩有了，那约束低秩只是约束rank(w)呀，和我们这节的核范数有什么关系呢？他们的关系和L0与L1的关系一样。因为rank()是非凸的，在优化问题里面很难求解，那么就需要寻找它的凸近似来近似它了。对，你没猜错，rank(w)的凸近似就是核范数||W||*。

好了，到这里，我也没什么好说的了，因为我也是稍微翻看了下这个东西，所以也还没有深入去看它。但我发现了这玩意还有很多很有意思的应用，下面我们举几个典型的吧。

2、

对p = 2，这称为弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）或希尔伯特-施密特范数（Hilbert–Schmidt norm）