矩阵代数（四）- 分块矩阵

小结

1. 分块矩阵
2. 分块矩阵运算
3. 分块矩阵的逆

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分块矩阵

矩阵，也可写成分块矩阵的形状，它的元素是分块（子矩阵）

加法与标量乘法

若矩阵与有相同维数且以相同方式分块，则自然有矩阵的和也以同样方式分块。这时的每一个分块恰好是和对应分块的（矩阵）和。分块矩阵乘以一个标量也可以逐块计算。

分块矩阵的乘法

设，
的5列被分成3列一组和2列一组。的5行按同样方法分块---被分成3行一组和2行一组。我们称和的分块是与分块乘法相一致的。的乘积可以被写成

设和。验证。

于是
这个矩阵恰好就是。

定理10（的列行展开）
若是矩阵，是矩阵，则

分块矩阵的逆

形如的矩阵称为分块上三角矩阵。设是矩阵，是矩阵。求的表达式。
解：用表示且把它分块，使得。
则有：
因可逆，且所在行其余列全为，可知必有q个主元位置，故。
。
于是。同理.
最后。
。
最终得：

分块对角矩阵是一个分块矩阵，除了主对角上各分块外，其余全是零分块。这样的一个矩阵是可逆的当且仅当主对角线上各分块都是可逆的。