分类讨论——三角形中的动点与折叠问题

这道题来源于2021河南中考第15题，题目如下：

由于题中经历两次折叠之后，点D'恰好在原直角三角形纸片的边上，则点D'可落在斜边AB上（图1）和直角边BC上（图2）两种情况。

①点D'恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，如图1。由折叠知，三角形ACD≌三角形A'CD≌三角形A'CD'，且A'C垂直平分DD'。由题目条件和等面积法/三角函数/相似易得，CE=✓3/2，则A'E=1–✓3/2。再在直角三角形A'D'E中，利用三角函数即可得，A'D'=2A'E=2–✓3。

②点D'恰好落在直角三角形纸片的AC边上时，如图2。由折叠知，三角形ACD≌三角形A'CD≌三角形A'CD'，也有∠ACD=∠A'CD=∠A'CD'=30°。易得∠A'D'C=90°，则有A'D'=1/2A'C=1/2AC=1/2。

综上，A'D'=2–✓3或1/2。

几何图形的折叠与动点问题，一般在中考中的填空题第15题出现，以等腰三角形、直角三角形的存在性为主，常与图形的变换（平移、旋转、折叠）结合及其一起考查。因为往往存在点的不确定性或者是图形的不确定性，所以经常需要分类讨论。依据关键信息——变与不变，化动为静，分类画出每种情况的图形，在解决问题的时候，往往利用勾股定理/相似/等面积法等计算方法解题，有些题三种方法都可以用，而有些题只能用其中的一种或两种（建议用三角函数的方法，计算量较小不易出错）。