周五下午，有一朋友在群里贴出一道题，说是新鲜出炉的清华附中初一数学期中考试题。朋友感叹：真是无语了，（比村孩子）被落下太远了。群里其他朋友纷纷表示，别说解题了，连题目都看不懂，直接放弃了。
我点开大图一看，乖乖，这初一的水平也太高了！题目不仅涉及到了不等式，而且对定义和过程的描述非常规范和严谨。洋洋洒洒占了大半页A4纸，这题通篇除了“小明”这个主人公名字以外，其它部分看不出任何初一年级的特色——并且，这才值7分。
不得不说，清华附中就是牛！这题要放在比利时，别说初一了，大一的学生都不一定能做出来。
备受打击的朋友回头蒸了一笼包子，我们就用包子来解释一下这道题说的是啥意思吧。
通俗地说：小明的妈妈蒸了几笼包子，包子总重1275克（记作L），包子有大有小，最大个儿的不超过50克。小明请同学来家里吃包子，每个同学最多能吃150克，权且叫做最大食量吧。因为小明妈妈的手艺很好，每个同学都想在不吃撑的情况下尽量吃饱。第1个同学从所有包子中仔细选择了若干个包子吃掉，使得自己吃掉的包子总重量在所有可能的选择中达到最大，最大食量和他吃掉包子的总重量之间的差值记作r1，或者称之为肚子余量（即原题中的余差）；第2个同学也很馋，他以相同的策略从剩余的包子中仔细选择了若干个包子吃掉，他的肚子余量记作r2；同学们以这种的方式依次吃包子，直到第N个同学把剩下的包子全部吃完。
提问：（1）除第N个同学以外，其他同学最少吃了几个包子？（2）小明发现，按照这种吃法，排在后面的同学吃完以后的肚子余量总是大于或者等于排在前面的同学吃完以后的肚子余量，即，r1 ≤ r2 ≤ … ≤ rn。并且，除最后一个同学以外，第n个同学吃完以后，剩下的包子中任意一个的重量a和第n个同学的肚子余量rn的大小关系是一定的，并请证明rn-1 > (150n – L) / (n - 1)。（3）小明还发现，无论妈妈做了几个包子，大小如何，按照这个吃法，最多只有11个同学能够吃到包子，试证明。
看到这里，还没有看懂题目的同学可以提前去小明家排队了。
第一问很简单（感觉比村初一的孩子也能做出来）。包子有大小，最大也就50克，3个包子的最大重量是150克，正好等于每个同学的最大食量，所以每个同学可以轻松吃下至少3个包子。当然，对于最后一个（第N个）同学来说，剩下的包子也许不够3个了，凑合着包圆儿了吧。
第二问难度增加了。首先r1 ≤ r2 ≤ … ≤ rn 很好理解。大家都是聪明的吃货，排在后面的同学能找到的最佳包子重量组合，排在前面的同学早就找到了，所以排前面的同学吃到包子的总重量一定大于等于排后面的同学吃到包子的总重量，换句话说，r1 ≤ r2 ≤ … ≤ rn。其次，a > rn。这也很好理解，假设第n个同学吃完后，剩下的包子中仍然存在一个包子，其重量a小于或等于第n个同学的肚子余量rn，那么这个同学一定会把这个包子也吃掉。吃完后新的肚子余量r’n = rn - a ≥ 0，且因为a > 0，所以r’n < rn，即新的肚子余量比原来的小，且没吃撑，说明肚子余量为rn的那个选择未能使得rn达到最小，这与同学们聪明吃货的人设相悖，所以假设不成立，即有a > rn。
设wi为第i个同学吃的包子的总重量，根据定义有wi + ri = 150（等式1）。
将i = 1 到i = n的 n个等式1相加，得到(w1 + w2 + … + wn) + (r1 + r2 + … + rn-1) + rn = 150n （等式2）。
L - (w1 + w2 + … + wn) 即第n个同学吃完后剩下的包子总重量，因为第n个同学不是最后一个同学，所以至少还剩下一个包子，其重量a > rn，所以L - (w1 + w2 + … + wn) ≥ a > rn，即(w1 + w2 + … + wn) + rn < L。将此式代入等式2，得到下列不等式：
(r1 + r2 + … + rn-1) > 150n – L（不等式3）
又有r1 ≤ r2 ≤ … ≤ rn，所以(r1 + r2 + … + rn-1) ≤ (n-1) rn-1，代入不等式（3），得到
(n-1) rn-1 > 150n – L，即rn-1 > (150n – L) / (n - 1)，得证。
第三问本身不难，用到了前面两问的结论。假设小明妈妈可以让12个同学吃上包子，即N = 12。根据第二问的rn-1 > (150n – L) / (n - 1)，计算得到r10 > 37.5，r11 > 525/11。根据第二问，第10个同学吃完后，剩下的包子每一个的重量a都大于r10，即第11个同学吃的每个包子重量都大于37.5克。根据第一问，第11个同学至少吃了3个包子，所以第11个同学至少吃了37.5 x 3 = 112.5克，换句话说，第11个同学的肚子余量r11最多等于150 – 112.5 = 37.5克；而上面根据计算得到r11 > 525/11 > 37.5。矛盾，所以假设不成立，即在总重量为L=1275克的情况下，小明妈妈最多只能让11个同学吃上包子。
看到这里，还没有去排队的同学就不要再去小明家了。
因为，看不懂题目的人绝对不止11个。
补：
有考据帝指出，此题是2004年高考北京卷（理科）中的题目……清华附中真凶残！
文/Athlon_BE
2018.11.10
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