简介

线段树算法是一种快速查询一段区间内的信息的算法, 由于其实现简单, 所以广泛应用于程序设计竞赛中。
线段树是一棵完美二叉树, 即所有的叶子节点的深度均相同, 并且所有的非叶子节点都有两个子节点。每个节点维护一个区间, 这个区间为父节点二分后的子区间, 根节点维护整个区间, 叶子节点维护单个元素, 当元素个数为n时, 对区间的操作都可以在O(log n)的时间内完成, 因为此时树的深度为log2 n + 1, 每次操作只需从叶子节点开始, 往上更新至根节点, 每层只需更新相关的一个区间即可, 操作次数log2 n + 1, 即在O(log n)的时间内可完成。

可实现的功能

线段树可以提供不同的功能, 例如最常见的求区间内的最大最小值和求区间内的和, 还有其他类似的功能, 实现思路基本相同

求区间最小值(最小值)

给定任意数列[a0, a1,...,an-1], 在O(log n)的时间内完成下列的两种操作

query(s, t) 求 [as,as+1,...,at-1] 内的最小值(最小值)
update(i, x) 把 ai 的值改为 x

求区间的和

给定初始值全为0的数列[a0, a1,...,an-1], 在O(log n)的时间内完成下列的两种操作

query(s, t) 求 [as,as+1,...,at-1] 内的和
add(i, x) 执行 ai += x

代码实现

这里我们以求区间最小值内的最小值为例, 用Python来实现原始的一棵线段树

初始化

这里创建一个数组dat[]并赋予初始最大值, 为了让其成为一棵完美的二叉树, 便于计算, 我们把n扩大到2的幂, 由于我们在数组中填充了int32的最大整数2147483647, 所以多余出来的的元素总是最大值, 不会影响原来区间的结果

def init(self, n):
    self.INT_MAX = 2147483647
    self.n = 1
        
    while self.n < n:
        self.n *= 2

    self.dat = [self.INT_MAX for i in range(2 * self.n - 1)]

更新元素

我们把一棵完美二叉树压成一个数组, 下标为i的子节点为i*2+1 和 i*2+2, a0为根节点, 每次更新时, 首先更新叶子节点, 之后一层层往上更新, 节点a[k] = min(a[k * 2 + 1],a[k * 2 + 2]), 操作在O(log n)的时间内完成

def update(self, k, a):
    k += self.n - 1
    self.dat[k] = a
    while k > 0:
        k = (k - 1) // 2
        self.dat[k] = min(self.dat[k * 2 + 1],self.dat[k * 2 + 2])

查询元素

query的功能为查询[a, b)区间内的最小值, 参数k, l, r是辅助参数

k 当前计算的节点
l, r 当前节点区间的范围

当[a,b), 不在k节点管理的区间[l, r)内时, 直接返回INT_MAX
当[a,b), 重合于k节点管理的区间[l, r)时, 直接返回k节点的值
否则, 递归k的两个子节点, 返回其中的最小值

def query(self, a, b, k, l, r):
    if r <= a or b <= l:
        return self.INT_MAX

    if a <= l and r <= b:
        return self.dat[k]
    else:
        vl = self.query(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) // 2)
        vr = self.query(a, b, k * 2 + 2, (l + r) // 2, r)
        return min(vl, vr)