什么是正规数
正规？
先看下汉语中正规的“正规”的释义……
同样的道理，
正规数也是指具有一定特性的数字……
正规数
正规数（Normal Number）是数字显示出随机分布，
且每个数字出现机会均等的实数。
“数字”指的是小数点前有限个数字（整数部分），
以及小数点后无穷数字序列（分数部分）。
设b是大于1的整数，x是实数。
考虑以b为底的位值记数法中x的数字序列。
若s是以b为底的有限数字序列，
我们以N(s,n)表示字串s在x的开首n个数字出现次数。
数x称为以b为底正规若对任意长度k的字串s。
这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。
用波莱尔—坎特利引理，
他证明了正规数定理：
几乎所有实数是正规的。
这定理证明存在正规数，
但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(WacławSierpiński)。
非正规数集合是不可数的，
这个结果容易得出，
想法是从每个实数中完全除去一个数字。
钱珀瑙恩数(Champernowne)
0.1234567891011121314151617...
是从连结所有自然数的数字而得出的数，
它以10为底正规，但在某些底不是正规。
科普兰—艾狄胥常数(Copeland-Erdős)
0.235711131719232931374143...
从连结所有质数的数字而得出的数，
也是以10为底正规。
那么这个数呢？
π是正规数吗？
针对像圆周率π这种这种无止境数字模式的研究，
至今仍未停止，
这是一段无止境的研究。
目前，数学家们更倾向于
猜测圆周率π是一个“正规数”，
意思是数字的任意有限模式出现的频率，
就好似在完全随机数列中发现的结果一样。
如果我们以不同颜色标记数字，
那么，
圆周率π会表现为
值得一提的是，
探索圆周率π的可能组合模式是摩根小说
《接触未来》的故事主轴，
书中描述外星人用π的数字将一个圆的图形编码，
这种说法带有宗教哲学的色彩，
让读者思索宇宙是否是在精密安排下被创造出来的。
这部小说也被改编成了电影
事实上，
如果圆周率π是正规数的话，
我们几乎可以认定它小数点后无止境的数列
可以代表人世间的一切
我们所有的原子序列、基因序列、
当然还有我们各种各样的想法与记忆。
圆周率π可以让我们变得永生不朽，
这是一件多么
AMAZING
的事情啊！！！
数学家们通常会用绝对正规来表示
某一数列在各种基底下都具有正规性。
并且用“简单正规”表示
某些数列只在特定基底下具有正规性。
比如，我们习惯用的十进制数字系统就是
“以十为底”，
因为当中只包含0到9这十个数字。
“正规”的意义在于每个单位数字都大致相同、
每一对数字都大致相同、
每三连组数字也大致相同，
以此类推，
比如，以十进制为底展开圆周率π的
前一千万个数字后，
当中数字 7 出现的次数应该很接近 100 万次；
实际上，
数字 7 总共出现了 1 000 207 次，
确实与期望值相当接近！
法国数学家博雷尔提出这个
正规数的概念后，
用来描述圆周率π的数字，
它们似乎具有随机分配的特性。
和圆周率一样，
大多数数学家猜测
根号2，欧拉数e、ln（2）这些数字也都是正规数
只不过相关证明还没有完成……
这个证明仍遥不可及
就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道
大卫·贝利(David H. Bailey)和理查德·克兰德尔(Richard E. Crandall)
在2001年猜想每个无理代数数是正规的，
虽没有找到反例，
却还没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。
文章首发于公号【趣味数学故事】
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