5-14完全平方数

完全平方数就是： 两个相同的数相乘的数。 

完全平方数的表示

A是完全平方数，通常用a的平方来表示。在学习了字母代替数字以后，就开始习惯这种表示方法。

100以内的完全平方数

400以内的完全平方数

常用要记住的还有：21×21=441   24×24=576   25×25=625 

一、完全平方数的特点

10000以内的完全平方数

观察发现，看看能找到哪些特征？这些特征从哪里来？

带着这个问题，我们向后学习。。。。

例题1   ☆☆一个班级的同学做早操，人数正好能排成行数和列数都相等的方阵。冬天最冷的时候，老师让同学们5人一组去踢毽子。班长分完小组以后，对老师说“5人一组，多出来两个人。”，老师马上说：“你一定是分错了。”。 聪明的同学，你知道老师这样说的根据吗？

例题一图形提示

例题2   ☆☆☆我们知道11×11=121,  111×111=12321， 1111×1111=1234321，....结果都是完全平方数。那么121+12321+1234321+.... +12345678987654321 的结果是不是完全平方数呢？

思考提示

余数规律的发现：

余数规律的探索

例题3   ☆☆☆1×1+2×2+3×3+……+2001×2001+2002×2002 除以 3 的余数是多少？

例题4  ☆☆☆形如11,111,1111,11111，……的数字中有没有完全平方数？

二、完全平方数的质因数

完全平方数都可以分解为成对出现的质因数。

12×12=3×2×2  ×  3×2×2  分解成质因数的偶数次方。

例题5  ☆☆☆一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？

270 = 27×10

= 3×3×3×2×5  根据质因数成对出现的特点，用最小的质因数补齐就是正确答案。

例题6  ☆☆☆☆已知自然数 n 满足：  12！除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是？

和补齐乘法算式得到完全平方数的原理是一样的。这里抵消掉落单的质因数就可以了。

例题7  ☆☆☆一个房间里有100盏灯，用自然数1,2,3,……，100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮有100个人，依次进入房间，第1个人进入房间以后，将编号为1的倍数的灯开关按一下，然后离开；第二个人进入房间后，将编号位2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。请问：第100个人离开房间以后，房间的灯有哪些是亮的。

三、平方差公式

通过做题 总结知识

例题1   ☆☆

根据题意全班人数是一个完全平方数，

那么人数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9。

除以5的余数只能是1或者4，

所以老师说班长算错了。

例题2   ☆☆☆

注意算式的项数，2个1到9个1，一共是8个数字。8个末位为1的数字，和末位一定是8，这不符合完全平方数的末位数规律，必然不是完全平方数。

例题3   ☆☆☆

完全平方数除以3余数是有规律出现的。每3个数为1组。

2002÷3=667（组）……1

（2×667+1）÷3 = 445 ……0

例题4  ☆☆☆形如11,111,1111, 

完全平方数除以4只能余0或者1。 那么这些数字里末尾两位没有能被4整除的数，因此没有完全平方数。

例题5  ☆☆☆一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？

A × 270 = 完全平方数

270 = 270×10

= 3×3×3×2×5 

A = 3×2×5 

= 30

例题6  ☆☆☆☆已知自然数 n 满足：  12！除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是？

和补齐乘法算式得到完全平方数的原理是一样的。这里抵消掉落单的质因数就可以了。

例题7  ☆☆☆一个房间里有100盏灯，用自 

完全平方数的因数分别是1 和平方根和它自己。这样开关就被按动了奇数次。所以编号为100以内的完全平方数的灯最终是亮的。

总结笔记

末位数字的规律：

末位数字只有 0,1,4,5,6,9

末位为0时，0是成对出现的。

个位为奇数，十位必然为偶数

个位为6，十位必然为奇数

余数规律：

除以3的余数只有 1或者0

除以4的余数只有 1或者0

除以5的余数只有 0,1,4

能被3整除的也能被9整除

思考一下除以6 7 8 9的余数是多少

出现的规律：

两个连续自然数的平方之间不再有完全平方数

约数和因数规律

因数的个数一定是奇数。

约数个数等于指数＋1连乘

质因数成对出现，可以分解成质因数的偶次方的形式。

练习部分

1、自然数1-10012中有（   ）个完全平方数？

2、15？2,  2？？8，  ？ ？10， 19？6，这四个数字中，？代表不能辨别的数码，其中有完全         平方数，这些完全平方数是 （   ）

3、在 2×3，3×4，……，99×100中，（   ）完全平方数。

4、在 1 到 2011 之间的自然数中，恰有奇数个约数的数有（   ）个。

5、是否存在自然数a，b，使3ab41×6是完全平方数？  

6、66,666，……，66666666666666666，这串数字中是否有完全平方数？ 

7、下面算式：1！＋2！＋3！……，10！的得数是否是完全平方数？ 

8、2000乘以非零自然数a得到一个完全平方数，则a最小为 （    ）

9、祖孙三人，孙子和爷爷年龄的乘积是1512，三人年龄的积是完全平方数，则父亲的年龄是

10、两个两位数，差为56，他们的平方数末两位数相同，这两个两位数分别是（          ）

11、用60个5和若干个零组成的数字是否是完全平方数？ 

12、已知ab2ba是一个完全平方数，a是最大的一位数，求这个数字？ 

13、从1到1000的所有自然数里，有多少个数乘以54后，是完全平方数？ 

14、如果三个连续正整数，中间一个是平方数，将这样的三个正整数的乘积叫做“幸运数”，所有小于等于2011的幸运数的最小公倍数是多少？

练习讲解

1、自然数1-10012中有（100）个完全平方数？

101×101=10201  超出了范围，所以10012里面有1-100这100个完全平方数。

2、15？2,  2？？8，  ？ ？10， 19？6，这四个数字中，？代表不能辨别的数码，其中有完全         平方数，这些完全平方数是 （1936）

根据末位数的规律，19？6有可能是的。试算40--50之间末位为4or6的数字。 44×44=

3、在 2×3，3×4，……，99×100中，（无）完全平方数。

4、在 1 到 2011 之间的自然数中，恰有奇数个约数的数有（44）个。

45×45=2025

5、是否存在自然数a，b，使3ab41×6是完全平方数？ 无 

根据末位数规律，如果是6，十位就必须是个奇数

6、66,666，……，66666666666666666，这串数字中是否有完全平方数？ 无  同上题

7、下面算式：1！＋2！＋3！……，10！的得数是否是完全平方数？ 

不是   根据末位数由各位乘积决定的规律，把末位数相加，末位为3。

8、2000乘以非零自然数a得到一个完全平方数，则a最小为 （5）

分解2000为 5·5·5·2·2·2·2   补一个5 满足了成对出现的要求

9、祖孙三人，孙子和爷爷年龄的乘积是1512，三人年龄的积是完全平方数，则父亲的年龄是

分解1512为 2×2×2×3×3×3×7  需要补齐 2×3×7  所以父亲的年龄42岁。

10、两个两位数，差为56，他们的平方数末两位数相同，这两个两位数分别是（78、22）

设大数为x，小数为y 

x-y=56

x·x-y·y= m100 

（x＋y）（x-y）=m100 

56（x+y）=m100 

x+y=100  x-y=56 

x=78

11、用60个5和若干个零组成的数字是否是完全平方数？ 不是 因为不能被9整除

12、已知ab2ba是一个完全平方数，a是最大的一位数，求这个数字？ 

a=9  则 整个数是  9b2b9  300往上，末位为7的数字枚举  307×307= 94294

13、从1到1000的所有自然数里，有多少个数乘以54后，是完全平方数？ 

这个数字拿出一部分质因数和54配对成完全平方数以后，自己仍是完全平方数才行

54分解成 2 3 3 3 ，需要拿出6，剩下的还是完全平方数。 1000÷6=166……4 

13×13是 169  不符合  那就剩下1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  这个几个了

借助电脑处理数据

14、如果三个连续正整数，中间一个是平方数，将这样的三个正整数的乘积叫做“幸运数”，所有小于等于2011的幸运数的最小公倍数是多少？

用电脑做的测算

完全平方数专题在不断完善当中。