排列和组合

(一) 计数

按照统计要求，将符合所有条件的结果筛选出来，统计所有结果的数量叫做计数！

(二) 两个重要计数原理

• 分类用加法
• 分步用乘法

(1) 分类用加法

任选一种都可以一步到位完成事情

例1. 看图, 从西安到济南有多少种方案

答: 3种, 骑车一种, 坐飞机1种, 坐火车1种, 所以总共有1+1+1=3种

例2

从西安到济南，可以坐飞机，也可以坐火车，还可以乘轮船。一天中，飞机有4 班, 火车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

答: 先分类, 看有多少类方法可以实现
第1类方法,坐飞机, 有4种方法
第2类方法,坐火车, 有2种方法
第3类方法,坐轮船, 有3种方法
所以, 从西安到济南共有 4+2+3=9 种方法

(2) 分步用乘法

看下图, 从西安到济南有多少种方法?

解法1: 使用分类来进行统计

• 第1类, 坐飞机, 坐飞机去的方法有:
  飞机+小汽车
  飞机+游泳
  飞机+骑马
  第1类共有3种方法可以到达目的地

• 第2类, 坐班车, 坐班车的方法有:
  班车+小汽车
  班车+游泳
  班车+骑马
  第2类共有3种方法可以达到目的地

• 故总共的方法有3+3 = 2X3 = 6(种)

解法2: 用分步来解决
第1步: 从西安到郑州有2种方法
第2步: 从郑州到济南, 有三种方法
公共的方法就是: 2X3=6种

例题

(2019河南)某市从市儿童公园到市科技馆有6种不同路线，从市科技馆到市少年宫有5种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有4种不同路线，则从市儿童公园到市少年宫的路线共有:
A.24种
B.36种
C.34种
D.38种

解答:
1)先分类, 去少年宫可以分两类方案: 第1类直达, 第2类通过科技馆中转
2)第2类的方案中又需要分步: 第1步从儿童公园去科技馆, 第2步从科技馆去少年宫

3. 所以所有路线是: 4 + 6X5 = 34(种)

(三) 排列&组合相关定义

(1) 排列定义

例子: 小明和小红去公园玩, 玩累了就想坐下来休息一下, 这时恰好路边有并排3个座位, 请问2人坐三个座位有多少种坐法

答: 一个共6种坐法, 这个事情也可以使用分步统计
第1步: 抽一个人坐上去, 此时有3种选择
第2步: 剩下另外一个人就只剩下2种选择
故所有的坐法就是: 2X3=6种

排列定义: 上面的例子中是从3个座位选2个座位来给2个人坐, 并统计出所有坐法, 这就是排列。
一般地，从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。这样的全部的排列个数，叫做排列数，记作：A(n,m), 上面的例子记作A(3,2)

(2) 组合定义

例子: 公司为拓展业务, 决定从小张, 小李, 小王三人中选2人出差到西部去开拓业务, 请问一个有多少种选法

解答: 列出所有的搭配是
小张&小李 小张&小王 小李&小张 小王&小张 小王&小李
但小张&小李和小李&小张其实一样的, 没有区别, 同理小王&小张和小张&小王,还有小李&小王和小王&小李
故实际的选择方案只有3种, 即: 小王&小张、小张&小李、小李&小王
一般地, 从n个不同元素中，不重复地选出m个元素的一个组合，这样的组合的总数叫做组合数，写做：C(n,m), 上面例子写作C(3,2)

(3) 排列和组合的区别

从n个不同元素中，每次取出m个元素为一组，如果该组内对每个元素的位置（顺序）是有要求的即排列，如上面小明和小红坐座位，他们做12和21是不一样的；无要求的即组合，如上面出差的例子，小王和小张跟小张和小王没有任何区别。

(四) 排列和组合计算公式

(1) 排列计算公式

A(n,m) = n+(n-1)+(n-2)...... 一个共有m个加数，比如:
A(5,3) = 5+4+3
A(100,3) = 100+99+98

当n和m相等时, 叫做全排列, 如:
A(5,5) = 5x4x3x2x1 也就是!5(5的阶乘)
A(100,100) = 100x99x93......x1

(2) 组合计算公式

公式一: C(5,2) = A(5,2)/A(2,2)
由于
C(5,2) = A(5,2)/A(2,2)
=5x4/2x1
而C(5,3) = A(5,3)/A(3,3)
= 5x4x3/3x2x1
观察上面两个式子, 可以发现:
C(5,2) = C(5,3), 同样道理:
C(100,98) = C(100,2)
由此得到公式二:
C(n,m) = C(n,n-m) #此公式在某些时候可以简化我们的计算