分析力学基本原理介绍7.6：用变分原理推导哈密顿方程

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-01-12 09:50 被阅读0次

$\bullet$ 变分原理/哈密顿原理既可以推导出拉格朗日方程，也可用来推导哈密顿正则方程。为了推出后者，我们先要对原始的变分原理做出一些调整。

原始的哈密顿原理指出，系统偏离正确路径的虚位移导致的作用量的虚变分必须为零：

$\delta I \equiv \delta\int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L} \;dt = 0\\$

为了推出哈密顿方程，变量 $q$ 和 $p$ 都必须为独立变量。所以作用量的积分路径需从由 $n$ 个广义坐标张成的位形空间转移至由 $2n$ 个广义坐标以及正则动量张成的相空间。借助勒让德变换，我们得到：

$\boxed{\delta I = \delta\int _{t_1}^{t_2}(\sum_ip_i\dot{q_i} - \mathscr{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t))dt = 0}\\$

这是相空间的哈密顿原理，因为是由原始的哈密顿原理得来，所以也被称作修改的哈密顿原理(modified Hamilton's principle)。该理论也常常出现在与变换理论(transformation theory)相关的内容中。

$\bullet$ 修改的哈密顿原理与高维变分原理其实并无太大差别。在 $2n$ 维相空间中的变分原理具有形式：

$\delta I = \delta\int_{t_1}^{t_2}f(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},\mathbf{p},\mathbf{\dot{p}},t)\;dt = 0\\$

其中 $f(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},\mathbf{p},\mathbf{\dot{p}},t)= \sum_ip_i\dot{q_i} - \mathscr{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$

于是

$\mathbf{\delta} I = \sum_j \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial f}{\partial q_j}\delta q_j + \frac{\partial f}{\partial \dot{q_j}}\delta\dot{q_j}\right)\;dt + \sum_j \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial f}{\partial p_i}\delta p_i + \frac{\partial f}{\partial \dot{p_i}}\delta\dot{p_i}\right)\;dt\\$

$\implies \left.\frac{\partial I}{\partial \alpha}\right|_{\alpha = 0} = \sum_j \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial f}{\partial q_j}\frac{\partial q_i}{\partial \alpha} + \frac{\partial f}{\partial \dot{q_j}}\frac{\partial\dot{q_i}}{\partial\alpha}\right)\;dt + \sum_j \int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial}{\partial p_j}(\sum_ip_i\dot{q_i} - \mathscr{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t))\frac{\partial p_j}{\partial\alpha}\;dt$

$\implies \sum_j\int_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial f}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{q_i}}\right)\right]\frac{\partial q_i}{\partial\alpha}\;dt + \sum_j \int_{t_1}^{t_2}\left(\dot{q_j} - \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_j}\right)\frac{\partial p_j}{\partial\alpha}\;dt = 0$

根据变分法基本引理，得到 $2n$ 个欧拉-拉格朗日方程：

$\frac{\partial f}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{q_i}}\right) = 0;\quad \dot{q_j} - \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_j}=0\\$

将 $f$ 代入第一个等式

$\frac{\partial f}{\partial \dot{q_j}} = \sum_i p_i \frac{\partial \dot{q_i}}{\partial \dot{q_j}} = p_i \delta_ j^i = p_j\\$

$\frac{\partial f}{\partial q_j} = -\frac{\partial\mathscr{H}}{\partial q_j}\\$

$\implies \boxed{\dot{p_j} + \frac{\partial\mathscr{H}}{\partial q_j} = 0}\\$

结合第二个等式，

$\boxed{\dot{q_j} - \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_j}=0}\\$

我们得到了哈密顿正则方程。

$\bullet$ 就上述步骤而言，推导看上去似乎过于简单了。很自然地，你可能会问：会不会有什么隐含的物理条件？修改的哈密顿原理是否真的等价于原始哈密顿原理？修改的哈密顿原理只保证了在相空间中能够导出正确的正则方程，并非用于位形空间。而且，即便对于原始的哈密顿原理，也没有再出现任何额外条件了。所以，这些疑问很大程度上都是不相关的：只要勒让德变换能保证拉格朗日函数和哈密顿函数具有相同的物理意义，使用修改后的哈密顿原理构造哈密顿方程就是有意义的。

$\bullet$ 有关路径作用量边界的问题反倒更值得注意。对于位形空间里的路径而言，推导出拉格朗日方程只需要路径的两个端点保持固定，即 $\delta q_{i}(t_1) = \delta q_{i}(t_2) = 0$ 。但对于修改后的哈密顿原理，在相空间里的路径虚变分为零，我们不仅需要 $\delta q_{i} = 0$ ，还需要 $\delta p_{i} = 0$ 。条件的差异是否会影响推导的有效性？

答案是不会，在修改的哈密顿原理下，作用量的被积函数 $f$ 其实并不存在对变量 $\dot{p_i}$ 的依赖关系， $\frac{\partial f}{\partial \dot{p_i}} = 0$ ，所以在推导第二组哈密顿正则方程时，我们根本不需要使用条件 $\delta p_{i} = 0$ 或 $\delta \dot{p_i} = 0$ 。

$\bullet$ 当然，边界条件的引入也存在优势，它可以将哈密顿方程的成立条件推广至更一般的情况：

当相空间中路径的端点固定时，被积函数即使加上或减去一个连续的二次可微函数 $F(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$ 关于时间的全导项也不会影响最后的哈密顿方程的形式。

上述结论很容易证明。

设函数 $F(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \sum_iq_i p_i$ ，使用修改的哈密顿原理：

$\begin{align*} \delta I &= \delta\int_{t_1}^{t_2}\left[\sum_i p_i\dot{q_i} - \mathscr{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t) - \frac{d}{dt}(\sum_i q_i p_i)\right]\;dt\\&= \delta\int_{t_1}^{t_2}\left[-\mathscr{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)-\sum_iq_i\dot{p_i}\right]\;dt\\\end{align*}\\$

我们将此时的被积函数用 $g$ 表示： $g(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},\mathbf{p},\mathbf{\dot{p}},t) = -\mathscr{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)- \sum_iq_i\dot{p_i}$ ，于是

$\delta \int_{t_1}^{t_2}g\;dt = \sum_j \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial g}{\partial q_j}\delta q_j + \frac{\partial g}{\partial \dot{q_j}}\delta\dot{q_j}\right)\;dt + \sum_j \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial g}{\partial p_i}\delta p_i + \frac{\partial g}{\partial \dot{p_i}}\delta\dot{p_i}\right)\;dt \\$

$\implies \left.\frac{\partial I}{\partial\alpha}\right|_{\alpha = 0} = \sum_j\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial g}{\partial q_j}\frac{\partial q_j}{\partial \alpha} + \frac{\partial g}{\partial \dot{q_j}}\frac{\partial^2 q_j}{\partial t\partial\alpha}\right)\;dt + \sum_j\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial g}{\partial p_j}\frac{\partial p_j}{\partial\alpha}+\frac{\partial g}{\partial \dot{p_j}}\frac{\partial^2p_j}{\partial t\partial \alpha}\right)\;dt$

$\implies \sum_j\int_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial g}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial g}{\partial \dot{q_j}}\right)\right]\frac{\partial q_j}{\partial \alpha}\;dt + \sum_j\int_{t_1}^{t_2}\left[\frac{\partial g}{\partial p_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial g}{\partial \dot{p_j}}\right)\right]\frac{\partial p_j}{\partial \alpha}\;dt$

$\implies \begin{cases}\frac{\partial g}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial g}{\partial \dot{q_j}}\right) = -\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_j} - \sum_i \dot{p_i}\delta_j^i = \boxed{-\frac{\partial\mathscr{H}}{\partial q_j} - \dot{p_j} = 0}\\ \frac{\partial g}{\partial p_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial g}{\partial \dot{p_j}}\right) = -\frac{\partial\mathscr{H}}{\partial p_j} - \frac{d}{dt}\left(-\sum_i q_i\delta_j^i\right) = \boxed{-\frac{\partial\mathscr{H}}{\partial p_j} + \dot{q_j} = 0}\end{cases} \\$

$\bullet$ 这时的函数 $g$ 既不是拉格朗日函数，也不属于任何可以通过位形空间的拉格朗日函数点变换得到函数。可见，边界条件的引入去除了拉格朗日函数广义坐标、速度与哈密顿函数正则变量之间的关系。借助边界条件，即使不从拉格朗日函数出发，我们也可以得到哈密顿方程。

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