由哈密顿所发现的抽象四元数群是群结构的一个实例。在定义了这个物理中的基本概念后，这一章考察了阶数小于等于8的有限群，尤其是四元数群。然后是四元数代数和作为他的一个应用的经典向量分析。
集合G是一个群，如果对所有元素存在一个内部的结合律，并且满足下面的性质。
1.结合律，2.恒等元，3.逆
设F，G是两个群，那么积群的结合律就是按分量定义的。这个群称为F，G的直积。
例子：1.n阶循环群，元素为某一元素的幂，满足n次幂为恒等元。这个基础元素可以被看作围绕一个轴旋转。
2.由两个元素a，b生成的2n阶二面体群，满足a为二阶元素，b为n阶元素。特别的，。根据一些化简规则，能够列出全部的2n个元素。其实就是自由群相对于一些化简关系所生成的等价关系所得的商群。
八阶及以下的有限群，除了需要专门讲解的四元数群外，就是下面这些群
1.一阶群，平凡群，只含恒等元
2.二阶群，只有一种群，二阶循环群，元素为
例子：a.b.绕轴转动
3.三阶群，只有一种群，三阶循环群，是素数群，所以也是单群
4.四阶群，有两种群，
a.四阶循环群，元素阶数为1,2,4,4。
b.克莱因4群，同构于，元素阶数1,2,2,2。
5.五阶群，素数群，五阶循环群
6.六阶群，两个a.六阶循环群，b.二面体群
7.七阶群，七阶循环群。
8.八阶群，五个
a.八阶循环群
D3的一个例子，三角形的旋转和翻转
b.，是交换群
c.，是交换群
d.二面体群
D4的一个例子，正方形的转动和翻转
就到这里了，这一节都是群论的知识，都很清楚，即使不清楚也很容易弄清楚。从抽象的范畴论到群论，突然变得简单了，还有点不适应。之后就是四元数群了，有意思的是，之前总以为四元数是四阶的，谁想到是八阶的，也算纠正了一个错误印象。
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