2.四元数群，四元数代数

作者: Obj_Arr | 来源:发表于2020-12-31 11:01 被阅读0次

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四元数群是哈密顿在1843年发现的，由8个元素构成 $(\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k)$ 满足下面关系

1为恒等元，其他三个元素 $i,j,k$ ，自乘为-1，两两结合，正序为第三个元素，逆序为正序乘-1，三个顺序结合也为-1。其实嘛，从这里就感觉和外代数有相似之处，反对称性。

乘法表，知道了乘法表就完全知晓了群的结合关系，也就完全知晓了群的代数结构。对角线上为1的是二阶元素（恒等元1自身除外），对角线上是-1的就是四阶元素。然后是交换性，如果是对称的矩阵或者数表，就是交换群。这个群显然是不交换的。将交换的部分提取出来构成子乘法表，就是中心子群的乘法表（中心子群中的元素与群中所有元素交换）。这里的中心子群就只含 $(\pm 1)$ 。

四元数的子群包括，平凡群，二阶循环群，三个四阶循环群。

考虑一个向量空间，其中的元素称之为四元数，由四个实数构成，可分为标量部分和向量部分

$a=a_0+a_1i+a_2j+a_3k=(a_0,a_1,a_2,a_3)=(a_0,\underline{a})$

$S(a)=a_0,V(a)=\underline{a}$

这个向量空间定义了乘法后就变成了四元数的结合代数，记作 $\mathbb H$

$\begin{aligned}a b &=\left(a_{0} b_{0}-a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}-a_{3} b_{3}\right) \\&+\left(a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}+a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) i \\&+\left(a_{0} b_{2}+a_{2} b_{0}+a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\right) j \\&+\left(a_{0} b_{3}+a_{3} b_{0}+a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) k\end{aligned}$

$a b=\left(a_{0} b_{0}-\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}, a_{0} \mathbf{b}+b_{0} \mathbf{a}+\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right)$

其中

$\mathbf a\cdot \mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

$\mathbf a\times \mathbf b = (a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k$

其实就是通常的标积和矢积。

历史上，这两种乘积由吉布斯得到，通过将四元数的标量部分取作0，由四元数乘法中分离出来的。

有意思，过去是为了简化，现在又返回复杂的形式了，简单不一定是本质。

四元数代数构成了一个非交换的域，并且将实数和复数作为他的特例。四元数的共轭，模的平方和模定义为

$\begin{array}{c}a_{c}=a_{0}-a_{1} i-a_{2} j-a_{3} k \\|a|^{2}=a a_{c}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2} \\|a|=\sqrt{|a|^{2}}\end{array}$

并且有以下性质

$\begin{array}{c}(a b)_{c}=b_{c} a_{c} \\|a b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}\end{array}$

然后是标量部分，满足乘法的交换律。可推广至有限情形。

$\begin{equation}\begin{array}{c}a^{-1}=\frac{a_{c}}{a a_{c}} \\\left|a^{-1}\right|^{2}=\frac{a_{c}}{a a_{c}}\left(\frac{a}{a a_{c}}\right)=\frac{1}{|a|^{2}} \\\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)^{-1}=\frac{\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)_{c}}{\left|a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right|^{2}}=a_{n}^{-1} a_{n-1}^{-1} \cdots a_{1}^{-1}\end{array}\end{equation}$

出现了显示问题，影响不大。

逆元的构造是通过与自共轭乘积为模平方来构造的。逆元的模平方，取共轭正好凑成一标量。然后是逆运算的性质，同共轭一样，两两构成配合对，产生恒等元而消去，和函数复合也类似。其实取逆运算都是这样构造的。都是要从不交换的量中构造出交换的量，从而实现量的消去或者运算顺序的改变。或许可以去看看非交换代数来获得更多的理解。

四元数除法，本质上是求解方程 $xb=a$ 或者 $by=a$ 。借助于之前关于逆元的知识，很容易得到

$\begin{array}{c} x=a b^{-1}=a \frac{b_{c}}{|b|^{2}} \\ y=b^{-1} a=\frac{b_{c} }{|b|^{2}}a \end{array}$

由于乘法的非交换性，所以产生了两个结果。他们的模显然是相等的。

根据我的理解的话，一般就不能写 $\frac{a}{b}$ ，因为结果不是唯一的，不是良定义的。

代数就是向量空间加上一个乘法，当这个乘法是四元数乘法时，就是四元数代数。这个乘法比较复杂，却能反映某些自然性质。

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