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内积,卷积,傅里叶变换

内积,卷积,傅里叶变换

作者: Persistently | 来源:发表于2019-08-26 16:43 被阅读0次

    1. 向量的内积
    ab=ab cos(θ)

        向量a和b的长度之积再乘以它们之间的夹角的余弦;
        向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积,
        也就是同方向的积特别的。
        如果一个向量如a是某个坐标轴的单位坐标向量,
        那么,两个向量的内积就是向量b在此坐标轴上的坐标值。
        这个结论非常重要,这是傅立叶分析的理论基础。
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        其他几何意义:从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。
        当内积值为正值时,两个向量大致指向相同的方向(方向夹角小于90度);
        当内积值为负值时,两个向量大致指向相反的方向(方向角大于90度);
        当内积值为0时,两个向量互相垂直
    

    正交基
    理解了前面的内积,下面我们来了解一下正交基:


    一个简单的向量被分解成了3个向量的线性和。特别的,在这个例子中,注意到,分解开的三个向量两两之间互相的内积等于零,于是这三个向量就是一组简单的正交基。内积是一个向量在另一个向量上的投影,如果是内积为0则表示两个向量是垂直了,所以可以将一组正交基理解为里面的每个向量相互垂直. 比如:

    一般来说,一个向量都可以表达成如下的形式:

    其中v是一组正交基,如果每组正交基中的向量,其模的大小都是1 ,这样的情况称为标准正交基。

    接下来就是求解系数,


    比如我们想求b的值是多少,回忆前面说的系数就是在基向量上的投影(也就是分量)和基向量模的比值,具体到前面的例子,因为基向量的模都是1,于是求系数就变得非常简单,就是求内积而已:

    对第二个表达式也可以做类似的事情:

    总结如下:如果B是某个实线性空间中的一组正交基,那么对该空间中的任一x,有:

    也就是说,基向量前的系数是信号和基向量的内积比基向量和自身的内积(也就是模的平方)。特别地,如果正交基中的向量都是单位向量,也就是|b|=1,那么每个正交基向量前的系数就是x和b的内积,即:

    2. 卷积
    卷积的定义
    我们称(f*g)(n)为f,g的卷积,其连续的定义为:


    其离散的定义为:

    reference:

    1. 从线性代数的角度理解傅里叶变换

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