4.5 样本统计量与总体参数

1. 概念

总体参数：假设我们想研究中国人的身高状况，可能包括身高的平均值、身高的具体分布、身高的方差、标准差等。那么全体中国人就是一个总体，身高的平均值就是一个总体参数。

样本统计量：现实生活中，大部分时候，去调查总体的全体元素是不可行的，因此才会有采样和样本的概念。假设我们随机了找了1000个中国人，统计了他们的身高。这1000个中国人就叫一个样本，他们的平均身高就是一个样本统计量。

因此，最常用的操作是：用样本统计量去估计总体的参数。比如使用样本的平均值估计总体的期望值，用样本的方差去估计总体的方差，用样本的类别比例（针对类别变量）去估计总体的类别占比情况，等。事实上，均值、方差、比例是三个最常使用的参数。

2. 问题

以均值为例，我们随机采集了1000个人的身高，算出了一个平均身高，假设我们再随机采集1000个人的身高，算一个平均值。这俩均值很可能是不相等的。所以，样本均值不是一个确定的数，我们每采集一个样本都能算出一个数来。事实上，样本均值是一个随机变量。

而由于我们不可能能遍历所有的样本，所以这个随机变量的分布是不可知的。换言之，当用样本统计量去估计总体参数时，我们是在用一个分布未知的随机变量去估计我们想要的总体参数，听起来变数就太大了。

所以我们需要一些定理来论证我们这些估计的可靠性等，还好，我们有中心极限定理。