群

群(group)的概念可以理解为：一个集合以及定义在这个集合上的二元运算，满足群的四条公理，封闭性、结合性、单位元、反元素。

1、原群，是一种基本的代数结构，只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合，即封闭性

2、半群，半群是满足结合律的代数系统，结合律的特点是只要求元素之间的运算位置不变。V=<S，* >

3、幺半群。是在半群的基础上加单位元。一个运算是否具有单位元也是有特点的，单位元即运算之后不改变元素的值，对于普通加法和普通乘法，如果存在没有单位元的代数系统，一般能通过扩大集合增加单位元。

4、交换群，是在群的基础上加了交换律，也叫阿贝尔群，交换律是一个很严格的运算律，换句话说，一个运算如果是可交换的那么我们说他很棒，满足交换律的运算，运算符两边是等价的。

5、群的四条公理：

封闭性：a ∗ b is another element in the set

结合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

单位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，… (对于所有元素)

如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结

环

环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)。

域

域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合不是域，因为整数的倒数不是整数。